Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3760 / 5268
↖ ↑ ↗
← S 45.706179°
W 14.765625°		 ← 3 412.42 m → S 45.706179°
W 14.721680°		 →
↑
3 411.48 m
↓
↑
3 411.48 m
↓
S 45.736860°
W 14.765625°		 ← 3 410.55 m →
11 638 220 m²		 S 45.736860°
W 14.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45904541015625 y=0.64312744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45904541015625 × 213)
    floor (0.45904541015625 × 8192)
    floor (3760.5)     		tx = 3760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64312744140625 × 213)
    floor (0.64312744140625 × 8192)
    floor (5268.5)     		ty = 5268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3760 / 5268 ti = "13/3760/5268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3760/5268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3760 ÷ 213
    3760 ÷ 8192     		x = 0.458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5268 ÷ 213
    5268 ÷ 8192     		y = 0.64306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458984375 × 2 - 1) × π
    -0.08203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25770877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    -0.2861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.898912741675293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25770877} λ = -0.25770877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898912741675293))-π/2
    2×atan(0.407011946384073)-π/2
    2×0.386536504888493-π/2
    0.773073009776987-1.57079632675     		φ = -0.79772332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25770877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.765625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79772332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.706179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3760 KachelY 5268 -0.25770877 -0.79772332 -14.765625 -45.706179
    Oben rechts KachelX + 1 3761 KachelY 5268 -0.25694178 -0.79772332 -14.721680 -45.706179
    Unten links KachelX 3760 KachelY + 1 5269 -0.25770877 -0.79825879 -14.765625 -45.736860
    Unten rechts KachelX + 1 3761 KachelY + 1 5269 -0.25694178 -0.79825879 -14.721680 -45.736860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79772332--0.79825879) × R
    0.000535469999999982 × 6371000     		dl = 3411.47936999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79772332--0.79825879) × R
    0.000535469999999982 × 6371000     		dr = 3411.47936999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25770877--0.25694178) × cos(-0.79772332) × R
    0.000766989999999967 × 0.698338092591969 × 6371000     		do = 3412.42440360191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25770877--0.25694178) × cos(-0.79825879) × R
    0.000766989999999967 × 0.697954720173338 × 6371000     		du = 3410.5510568507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79772332)-sin(-0.79825879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698338092591969-0.697954720173338)×R²
    abs(-0.25694178--0.25770877)×0.000383372418630956×R²
    0.000766989999999967×0.000383372418630956×6371000²
    0.000766989999999967×0.000383372418630956×40589641000000     		ar = 11638220.2907565m²