Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 376 / 469
↖ ↑ ↗
← N 14.944785°
W 47.812500°		 ← 37.770 km → N 14.944785°
W 47.460938°		 →
↑
37.799 km
↓
↑
37.799 km
↓
N 14.604847°
W 47.812500°		 ← 37.829 km →
1 428.79 km²		 N 14.604847°
W 47.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36767578125 y=0.45849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36767578125 × 210)
    floor (0.36767578125 × 1024)
    floor (376.5)     		tx = 376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.45849609375 × 210)
    floor (0.45849609375 × 1024)
    floor (469.5)     		ty = 469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 376 / 469 ti = "10/376/469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/376/469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 376 ÷ 210
    376 ÷ 1024     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 469 ÷ 210
    469 ÷ 1024     		y = 0.4580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.263844695508789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.263844695508789))-π/2
    2×atan(1.30192598564639)-π/2
    2×0.915816014430076-π/2
    1.83163202886015-1.57079632675     		φ = 0.26083570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26083570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.944785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 376 KachelY 469 -0.83448555 0.26083570 -47.812500 14.944785
    Oben rechts KachelX + 1 377 KachelY 469 -0.82834963 0.26083570 -47.460938 14.944785
    Unten links KachelX 376 KachelY + 1 470 -0.83448555 0.25490267 -47.812500 14.604847
    Unten rechts KachelX + 1 377 KachelY + 1 470 -0.82834963 0.25490267 -47.460938 14.604847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26083570-0.25490267) × R
    0.00593303000000001 × 6371000     		dl = 37799.33413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26083570-0.25490267) × R
    0.00593303000000001 × 6371000     		dr = 37799.33413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.82834963) × cos(0.26083570) × R
    0.00613592000000007 × 0.966174798481606 × 6371000     		do = 37769.6533579802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.82834963) × cos(0.25490267) × R
    0.00613592000000007 × 0.96768784215076 × 6371000     		du = 37828.8011798746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26083570)-sin(0.25490267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966174798481606-0.96768784215076)×R²
    abs(-0.82834963--0.83448555)×0.00151304366915361×R²
    0.00613592000000007×0.00151304366915361×6371000²
    0.00613592000000007×0.00151304366915361×40589641000000     		ar = 1428789812.61385m²