Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37599 / 28461
↖ ↑ ↗
← N 23.014020°
E 26.537475°		 ← 562.23 m → N 23.014020°
E 26.542969°		 →
↑
562.24 m
↓
↑
562.24 m
↓
N 23.008964°
E 26.537475°		 ← 562.25 m →
316 116 m²		 N 23.008964°
E 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573722839355469 y=0.434288024902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573722839355469 × 216)
    floor (0.573722839355469 × 65536)
    floor (37599.5)     		tx = 37599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434288024902344 × 216)
    floor (0.434288024902344 × 65536)
    floor (28461.5)     		ty = 28461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37599 / 28461 ti = "16/37599/28461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37599/28461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37599 ÷ 216
    37599 ÷ 65536     		x = 0.573715209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28461 ÷ 216
    28461 ÷ 65536     		y = 0.434280395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573715209960938 × 2 - 1) × π
    0.147430419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46316632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434280395507812 × 2 - 1) × π
    0.131439208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.412928453327164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46316632} λ = 0.46316632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412928453327164))-π/2
    2×atan(1.51123689809402)-π/2
    2×0.986233377772713-π/2
    1.97246675554543-1.57079632675     		φ = 0.40167043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46316632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.537475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40167043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.014020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37599 KachelY 28461 0.46316632 0.40167043 26.537475 23.014020
    Oben rechts KachelX + 1 37600 KachelY 28461 0.46326220 0.40167043 26.542969 23.014020
    Unten links KachelX 37599 KachelY + 1 28462 0.46316632 0.40158218 26.537475 23.008964
    Unten rechts KachelX + 1 37600 KachelY + 1 28462 0.46326220 0.40158218 26.542969 23.008964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40167043-0.40158218) × R
    8.82500000000119e-05 × 6371000     		dl = 562.240750000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40167043-0.40158218) × R
    8.82500000000119e-05 × 6371000     		dr = 562.240750000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46316632-0.46326220) × cos(0.40167043) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.920409213189156 × 6371000     		do = 562.233330082188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46316632-0.46326220) × cos(0.40158218) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.920443711504327 × 6371000     		du = 562.254403429068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40167043)-sin(0.40158218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920409213189156-0.920443711504327)×R²
    abs(0.46326220-0.46316632)×3.44983151705502e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.44983151705502e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.44983151705502e-05×40589641000000     		ar = 316116.41353284m²