Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37599 / 27807
↖ ↑ ↗
← N 26.278639°
E 26.537475°		 ← 547.72 m → N 26.278639°
E 26.542969°		 →
↑
547.65 m
↓
↑
547.65 m
↓
N 26.273714°
E 26.537475°		 ← 547.74 m →
299 966 m²		 N 26.273714°
E 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573722839355469 y=0.424308776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573722839355469 × 216)
    floor (0.573722839355469 × 65536)
    floor (37599.5)     		tx = 37599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424308776855469 × 216)
    floor (0.424308776855469 × 65536)
    floor (27807.5)     		ty = 27807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37599 / 27807 ti = "16/37599/27807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37599/27807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37599 ÷ 216
    37599 ÷ 65536     		x = 0.573715209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27807 ÷ 216
    27807 ÷ 65536     		y = 0.424301147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573715209960938 × 2 - 1) × π
    0.147430419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46316632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424301147460938 × 2 - 1) × π
    0.151397705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.475629918030197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46316632} λ = 0.46316632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475629918030197))-π/2
    2×atan(1.60902743371597)-π/2
    2×1.01472255522552-π/2
    2.02944511045104-1.57079632675     		φ = 0.45864878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46316632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.537475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45864878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.278639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37599 KachelY 27807 0.46316632 0.45864878 26.537475 26.278639
    Oben rechts KachelX + 1 37600 KachelY 27807 0.46326220 0.45864878 26.542969 26.278639
    Unten links KachelX 37599 KachelY + 1 27808 0.46316632 0.45856282 26.537475 26.273714
    Unten rechts KachelX + 1 37600 KachelY + 1 27808 0.46326220 0.45856282 26.542969 26.273714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45864878-0.45856282) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dl = 547.651159999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45864878-0.45856282) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dr = 547.651159999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46316632-0.46326220) × cos(0.45864878) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8966515508999 × 6371000     		do = 547.720926911457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46316632-0.46326220) × cos(0.45856282) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896689605254309 × 6371000     		du = 547.744172470169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45864878)-sin(0.45856282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8966515508999-0.896689605254309)×R²
    abs(0.46326220-0.46316632)×3.80543544098444e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80543544098444e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80543544098444e-05×40589641000000     		ar = 299966.366392657m²