Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37597 / 102238
↖ ↑ ↗
← S 70.464370°
W 76.736755°		 ← 102.13 m → S 70.464370°
W 76.734009°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
S 70.465289°
W 76.736755°		 ← 102.13 m →
10 430 m²		 S 70.465289°
W 76.734009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.286846160888672 y=0.780017852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.286846160888672 × 217)
    floor (0.286846160888672 × 131072)
    floor (37597.5)     		tx = 37597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780017852783203 × 217)
    floor (0.780017852783203 × 131072)
    floor (102238.5)     		ty = 102238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37597 / 102238 ti = "17/37597/102238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37597/102238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37597 ÷ 217
    37597 ÷ 131072     		x = 0.286842346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102238 ÷ 217
    102238 ÷ 131072     		y = 0.780014038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.286842346191406 × 2 - 1) × π
    -0.426315307617188 × 3.1415926535     		Λ = -1.33930904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780014038085938 × 2 - 1) × π
    -0.560028076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7593800898553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33930904} λ = -1.33930904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7593800898553))-π/2
    2×atan(0.172151549243749)-π/2
    2×0.170480526988322-π/2
    0.340961053976644-1.57079632675     		φ = -1.22983527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33930904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.736755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22983527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.464370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37597 KachelY 102238 -1.33930904 -1.22983527 -76.736755 -70.464370
    Oben rechts KachelX + 1 37598 KachelY 102238 -1.33926110 -1.22983527 -76.734009 -70.464370
    Unten links KachelX 37597 KachelY + 1 102239 -1.33930904 -1.22985130 -76.736755 -70.465289
    Unten rechts KachelX + 1 37598 KachelY + 1 102239 -1.33926110 -1.22985130 -76.734009 -70.465289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22983527--1.22985130) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22983527--1.22985130) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33930904--1.33926110) × cos(-1.22983527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33439297876921 × 6371000     		do = 102.132222991323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33930904--1.33926110) × cos(-1.22985130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334377871513553 × 6371000     		du = 102.127608846585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22983527)-sin(-1.22985130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33439297876921-0.334377871513553)×R²
    abs(-1.33926110--1.33930904)×1.51072556568987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51072556568987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51072556568987e-05×40589641000000     		ar = 10430.2352002381m²