Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37592 / 27977
↖ ↑ ↗
← N 25.438314°
E 26.499024°		 ← 551.57 m → N 25.438314°
E 26.504517°		 →
↑
551.60 m
↓
↑
551.60 m
↓
N 25.433354°
E 26.499024°		 ← 551.59 m →
304 253 m²		 N 25.433354°
E 26.504517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573616027832031 y=0.426902770996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573616027832031 × 216)
    floor (0.573616027832031 × 65536)
    floor (37592.5)     		tx = 37592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426902770996094 × 216)
    floor (0.426902770996094 × 65536)
    floor (27977.5)     		ty = 27977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37592 / 27977 ti = "16/37592/27977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37592/27977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37592 ÷ 216
    37592 ÷ 65536     		x = 0.5736083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27977 ÷ 216
    27977 ÷ 65536     		y = 0.426895141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5736083984375 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426895141601562 × 2 - 1) × π
    0.146209716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.459331372159378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46249521} λ = 0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459331372159378))-π/2
    2×atan(1.58301518303819)-π/2
    2×1.0073893321861-π/2
    2.0147786643722-1.57079632675     		φ = 0.44398234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44398234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.438314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37592 KachelY 27977 0.46249521 0.44398234 26.499024 25.438314
    Oben rechts KachelX + 1 37593 KachelY 27977 0.46259108 0.44398234 26.504517 25.438314
    Unten links KachelX 37592 KachelY + 1 27978 0.46249521 0.44389576 26.499024 25.433354
    Unten rechts KachelX + 1 37593 KachelY + 1 27978 0.46259108 0.44389576 26.504517 25.433354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44398234-0.44389576) × R
    8.65800000000028e-05 × 6371000     		dl = 551.601180000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44398234-0.44389576) × R
    8.65800000000028e-05 × 6371000     		dr = 551.601180000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46249521-0.46259108) × cos(0.44398234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90304825770084 × 6371000     		do = 551.570831523469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46249521-0.46259108) × cos(0.44389576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903085443811991 × 6371000     		du = 551.593544345374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44398234)-sin(0.44389576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90304825770084-0.903085443811991)×R²
    abs(0.46259108-0.46249521)×3.71861111511107e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71861111511107e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71861111511107e-05×40589641000000     		ar = 304253.385921651m²