Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37590 / 27962
↖ ↑ ↗
← N 25.512700°
E 26.488037°		 ← 551.23 m → N 25.512700°
E 26.493530°		 →
↑
551.28 m
↓
↑
551.28 m
↓
N 25.507742°
E 26.488037°		 ← 551.25 m →
303 890 m²		 N 25.507742°
E 26.493530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573585510253906 y=0.426673889160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573585510253906 × 216)
    floor (0.573585510253906 × 65536)
    floor (37590.5)     		tx = 37590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426673889160156 × 216)
    floor (0.426673889160156 × 65536)
    floor (27962.5)     		ty = 27962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37590 / 27962 ti = "16/37590/27962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37590/27962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37590 ÷ 216
    37590 ÷ 65536     		x = 0.573577880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27962 ÷ 216
    27962 ÷ 65536     		y = 0.426666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573577880859375 × 2 - 1) × π
    0.14715576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46230346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426666259765625 × 2 - 1) × π
    0.14666748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.46076947914798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46230346} λ = 0.46230346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46076947914798))-π/2
    2×atan(1.58529336597875)-π/2
    2×1.00803847149479-π/2
    2.01607694298957-1.57079632675     		φ = 0.44528062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46230346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.488037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44528062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.512700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37590 KachelY 27962 0.46230346 0.44528062 26.488037 25.512700
    Oben rechts KachelX + 1 37591 KachelY 27962 0.46239933 0.44528062 26.493530 25.512700
    Unten links KachelX 37590 KachelY + 1 27963 0.46230346 0.44519409 26.488037 25.507742
    Unten rechts KachelX + 1 37591 KachelY + 1 27963 0.46239933 0.44519409 26.493530 25.507742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44528062-0.44519409) × R
    8.65300000000291e-05 × 6371000     		dl = 551.282630000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44528062-0.44519409) × R
    8.65300000000291e-05 × 6371000     		dr = 551.282630000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46230346-0.46239933) × cos(0.44528062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902489834768143 × 6371000     		do = 551.22975362569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46230346-0.46239933) × cos(0.44519409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.902527100825578 × 6371000     		du = 551.252515277808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44528062)-sin(0.44519409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902489834768143-0.902527100825578)×R²
    abs(0.46239933-0.46230346)×3.72660574354811e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72660574354811e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72660574354811e-05×40589641000000     		ar = 303889.662554647m²