Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37589 / 27939
↖ ↑ ↗
← N 25.626669°
E 26.482544°		 ← 550.71 m → N 25.626669°
E 26.488037°		 →
↑
550.77 m
↓
↑
550.77 m
↓
N 25.621716°
E 26.482544°		 ← 550.73 m →
303 320 m²		 N 25.621716°
E 26.488037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573570251464844 y=0.426322937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573570251464844 × 216)
    floor (0.573570251464844 × 65536)
    floor (37589.5)     		tx = 37589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426322937011719 × 216)
    floor (0.426322937011719 × 65536)
    floor (27939.5)     		ty = 27939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37589 / 27939 ti = "16/37589/27939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37589/27939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37589 ÷ 216
    37589 ÷ 65536     		x = 0.573562622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27939 ÷ 216
    27939 ÷ 65536     		y = 0.426315307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573562622070312 × 2 - 1) × π
    0.147125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46220759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426315307617188 × 2 - 1) × π
    0.147369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.462974576530502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46220759} λ = 0.46220759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462974576530502))-π/2
    2×atan(1.58879294927353)-π/2
    2×1.00903303745221-π/2
    2.01806607490442-1.57079632675     		φ = 0.44726975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46220759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.482544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44726975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.626669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37589 KachelY 27939 0.46220759 0.44726975 26.482544 25.626669
    Oben rechts KachelX + 1 37590 KachelY 27939 0.46230346 0.44726975 26.488037 25.626669
    Unten links KachelX 37589 KachelY + 1 27940 0.46220759 0.44718330 26.482544 25.621716
    Unten rechts KachelX + 1 37590 KachelY + 1 27940 0.46230346 0.44718330 26.488037 25.621716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44726975-0.44718330) × R
    8.64500000000157e-05 × 6371000     		dl = 550.7729500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44726975-0.44718330) × R
    8.64500000000157e-05 × 6371000     		dr = 550.7729500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46220759-0.46230346) × cos(0.44726975) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901631309443178 × 6371000     		do = 550.705376856966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46220759-0.46230346) × cos(0.44718330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901668696171821 × 6371000     		du = 550.728212213582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44726975)-sin(0.44718330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901631309443178-0.901668696171821)×R²
    abs(0.46230346-0.46220759)×3.73867286431739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73867286431739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73867286431739e-05×40589641000000     		ar = 303319.913729774m²