Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37589 / 27859
↖ ↑ ↗
← N 26.022234°
E 26.482544°		 ← 548.87 m → N 26.022234°
E 26.488037°		 →
↑
548.93 m
↓
↑
548.93 m
↓
N 26.017297°
E 26.482544°		 ← 548.89 m →
301 294 m²		 N 26.017297°
E 26.488037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573570251464844 y=0.425102233886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573570251464844 × 216)
    floor (0.573570251464844 × 65536)
    floor (37589.5)     		tx = 37589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425102233886719 × 216)
    floor (0.425102233886719 × 65536)
    floor (27859.5)     		ty = 27859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37589 / 27859 ti = "16/37589/27859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37589/27859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37589 ÷ 216
    37589 ÷ 65536     		x = 0.573562622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27859 ÷ 216
    27859 ÷ 65536     		y = 0.425094604492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573562622070312 × 2 - 1) × π
    0.147125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46220759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425094604492188 × 2 - 1) × π
    0.149810791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.470644480469711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46220759} λ = 0.46220759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470644480469711))-π/2
    2×atan(1.60102569058079)-π/2
    2×1.01248499401954-π/2
    2.02496998803909-1.57079632675     		φ = 0.45417366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46220759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.482544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45417366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.022234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37589 KachelY 27859 0.46220759 0.45417366 26.482544 26.022234
    Oben rechts KachelX + 1 37590 KachelY 27859 0.46230346 0.45417366 26.488037 26.022234
    Unten links KachelX 37589 KachelY + 1 27860 0.46220759 0.45408750 26.482544 26.017297
    Unten rechts KachelX + 1 37590 KachelY + 1 27860 0.46230346 0.45408750 26.488037 26.017297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45417366-0.45408750) × R
    8.61600000000018e-05 × 6371000     		dl = 548.925360000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45417366-0.45408750) × R
    8.61600000000018e-05 × 6371000     		dr = 548.925360000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46220759-0.46230346) × cos(0.45417366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898623866742351 × 6371000     		do = 548.868467636325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46220759-0.46230346) × cos(0.45408750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898661663512955 × 6371000     		du = 548.891553441556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45417366)-sin(0.45408750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898623866742351-0.898661663512955)×R²
    abs(0.46230346-0.46220759)×3.77967706043369e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77967706043369e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77967706043369e-05×40589641000000     		ar = 301294.157568308m²