Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37588 / 27940
↖ ↑ ↗
← N 25.621716°
E 26.477051°		 ← 550.79 m → N 25.621716°
E 26.482544°		 →
↑
550.71 m
↓
↑
550.71 m
↓
N 25.616763°
E 26.477051°		 ← 550.81 m →
303 329 m²		 N 25.616763°
E 26.482544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573554992675781 y=0.426338195800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573554992675781 × 216)
    floor (0.573554992675781 × 65536)
    floor (37588.5)     		tx = 37588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426338195800781 × 216)
    floor (0.426338195800781 × 65536)
    floor (27940.5)     		ty = 27940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37588 / 27940 ti = "16/37588/27940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37588/27940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37588 ÷ 216
    37588 ÷ 65536     		x = 0.57354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27940 ÷ 216
    27940 ÷ 65536     		y = 0.42633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42633056640625 × 2 - 1) × π
    0.1473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.462878702731262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46211171} λ = 0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462878702731262))-π/2
    2×atan(1.58864063295897)-π/2
    2×1.00898981514653-π/2
    2.01797963029306-1.57079632675     		φ = 0.44718330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44718330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.621716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37588 KachelY 27940 0.46211171 0.44718330 26.477051 25.621716
    Oben rechts KachelX + 1 37589 KachelY 27940 0.46220759 0.44718330 26.482544 25.621716
    Unten links KachelX 37588 KachelY + 1 27941 0.46211171 0.44709686 26.477051 25.616763
    Unten rechts KachelX + 1 37589 KachelY + 1 27941 0.46220759 0.44709686 26.482544 25.616763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44718330-0.44709686) × R
    8.64400000000209e-05 × 6371000     		dl = 550.709240000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44718330-0.44709686) × R
    8.64400000000209e-05 × 6371000     		dr = 550.709240000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46211171-0.46220759) × cos(0.44718330) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901668696171821 × 6371000     		do = 550.785657526185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46211171-0.46220759) × cos(0.44709686) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901706071838255 × 6371000     		du = 550.808488507342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44718330)-sin(0.44709686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901668696171821-0.901706071838255)×R²
    abs(0.46220759-0.46211171)×3.73756664339142e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.73756664339142e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.73756664339142e-05×40589641000000     		ar = 303329.037664318m²