Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37588 / 27860
↖ ↑ ↗
← N 26.017297°
E 26.477051°		 ← 548.95 m → N 26.017297°
E 26.482544°		 →
↑
548.86 m
↓
↑
548.86 m
↓
N 26.012361°
E 26.477051°		 ← 548.97 m →
301 303 m²		 N 26.012361°
E 26.482544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573554992675781 y=0.425117492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573554992675781 × 216)
    floor (0.573554992675781 × 65536)
    floor (37588.5)     		tx = 37588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425117492675781 × 216)
    floor (0.425117492675781 × 65536)
    floor (27860.5)     		ty = 27860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37588 / 27860 ti = "16/37588/27860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37588/27860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37588 ÷ 216
    37588 ÷ 65536     		x = 0.57354736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27860 ÷ 216
    27860 ÷ 65536     		y = 0.42510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57354736328125 × 2 - 1) × π
    0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42510986328125 × 2 - 1) × π
    0.1497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.470548606670471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46211171} λ = 0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470548606670471))-π/2
    2×atan(1.60087220152306)-π/2
    2×1.01244191587156-π/2
    2.02488383174312-1.57079632675     		φ = 0.45408750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45408750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.017297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37588 KachelY 27860 0.46211171 0.45408750 26.477051 26.017297
    Oben rechts KachelX + 1 37589 KachelY 27860 0.46220759 0.45408750 26.482544 26.017297
    Unten links KachelX 37588 KachelY + 1 27861 0.46211171 0.45400135 26.477051 26.012361
    Unten rechts KachelX + 1 37589 KachelY + 1 27861 0.46220759 0.45400135 26.482544 26.012361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45408750-0.45400135) × R
    8.61499999999515e-05 × 6371000     		dl = 548.861649999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45408750-0.45400135) × R
    8.61499999999515e-05 × 6371000     		dr = 548.861649999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46211171-0.46220759) × cos(0.45408750) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.898661663512955 × 6371000     		do = 548.948807176108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46211171-0.46220759) × cos(0.45400135) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.898699449226653 × 6371000     		du = 548.971888635244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45408750)-sin(0.45400135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898661663512955-0.898699449226653)×R²
    abs(0.46220759-0.46211171)×3.77857136979465e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.77857136979465e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.77857136979465e-05×40589641000000     		ar = 301303.282522137m²