Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37587 / 27933
↖ ↑ ↗
← N 25.656382°
E 26.471558°		 ← 550.57 m → N 25.656382°
E 26.477051°		 →
↑
550.58 m
↓
↑
550.58 m
↓
N 25.651430°
E 26.471558°		 ← 550.59 m →
303 139 m²		 N 25.651430°
E 26.477051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573539733886719 y=0.426231384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573539733886719 × 216)
    floor (0.573539733886719 × 65536)
    floor (37587.5)     		tx = 37587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426231384277344 × 216)
    floor (0.426231384277344 × 65536)
    floor (27933.5)     		ty = 27933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37587 / 27933 ti = "16/37587/27933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37587/27933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37587 ÷ 216
    37587 ÷ 65536     		x = 0.573532104492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27933 ÷ 216
    27933 ÷ 65536     		y = 0.426223754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573532104492188 × 2 - 1) × π
    0.147064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46201584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426223754882812 × 2 - 1) × π
    0.147552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.463549819325943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46201584} λ = 0.46201584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463549819325943))-π/2
    2×atan(1.58970715389065)-π/2
    2×1.00929233364105-π/2
    2.0185846672821-1.57079632675     		φ = 0.44778834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46201584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.471558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44778834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.656382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37587 KachelY 27933 0.46201584 0.44778834 26.471558 25.656382
    Oben rechts KachelX + 1 37588 KachelY 27933 0.46211171 0.44778834 26.477051 25.656382
    Unten links KachelX 37587 KachelY + 1 27934 0.46201584 0.44770192 26.471558 25.651430
    Unten rechts KachelX + 1 37588 KachelY + 1 27934 0.46211171 0.44770192 26.477051 25.651430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44778834-0.44770192) × R
    8.64200000000315e-05 × 6371000     		dl = 550.581820000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44778834-0.44770192) × R
    8.64200000000315e-05 × 6371000     		dr = 550.581820000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46201584-0.46211171) × cos(0.44778834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901406895201023 × 6371000     		do = 550.568307382444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46201584-0.46211171) × cos(0.44770192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901444309360652 × 6371000     		du = 550.591159493571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44778834)-sin(0.44770192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901406895201023-0.901444309360652)×R²
    abs(0.46211171-0.46201584)×3.74141596297672e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74141596297672e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74141596297672e-05×40589641000000     		ar = 303139.191880263m²