Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37586 / 27922
↖ ↑ ↗
← N 25.710837°
E 26.466064°		 ← 550.37 m → N 25.710837°
E 26.471558°		 →
↑
550.39 m
↓
↑
550.39 m
↓
N 25.705887°
E 26.466064°		 ← 550.40 m →
302 927 m²		 N 25.705887°
E 26.471558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573524475097656 y=0.426063537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573524475097656 × 216)
    floor (0.573524475097656 × 65536)
    floor (37586.5)     		tx = 37586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426063537597656 × 216)
    floor (0.426063537597656 × 65536)
    floor (27922.5)     		ty = 27922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37586 / 27922 ti = "16/37586/27922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37586/27922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37586 ÷ 216
    37586 ÷ 65536     		x = 0.573516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27922 ÷ 216
    27922 ÷ 65536     		y = 0.426055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573516845703125 × 2 - 1) × π
    0.14703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46191996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426055908203125 × 2 - 1) × π
    0.14788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.464604431117584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46191996} λ = 0.46191996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464604431117584))-π/2
    2×atan(1.5913845621522)-π/2
    2×1.00976754223699-π/2
    2.01953508447398-1.57079632675     		φ = 0.44873876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46191996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.466064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44873876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.710837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37586 KachelY 27922 0.46191996 0.44873876 26.466064 25.710837
    Oben rechts KachelX + 1 37587 KachelY 27922 0.46201584 0.44873876 26.471558 25.710837
    Unten links KachelX 37586 KachelY + 1 27923 0.46191996 0.44865237 26.466064 25.705887
    Unten rechts KachelX + 1 37587 KachelY + 1 27923 0.46201584 0.44865237 26.471558 25.705887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44873876-0.44865237) × R
    8.63899999999918e-05 × 6371000     		dl = 550.390689999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44873876-0.44865237) × R
    8.63899999999918e-05 × 6371000     		dr = 550.390689999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46191996-0.46201584) × cos(0.44873876) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.900994981955109 × 6371000     		do = 550.37411819981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46191996-0.46201584) × cos(0.44865237) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901032457124139 × 6371000     		du = 550.397009962275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44873876)-sin(0.44865237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900994981955109-0.901032457124139)×R²
    abs(0.46201584-0.46191996)×3.74751690299657e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.74751690299657e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.74751690299657e-05×40589641000000     		ar = 302927.090568979m²