Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37586 / 27791
↖ ↑ ↗
← N 26.357420°
E 26.466064°		 ← 547.35 m → N 26.357420°
E 26.471558°		 →
↑
547.33 m
↓
↑
547.33 m
↓
N 26.352498°
E 26.466064°		 ← 547.37 m →
299 588 m²		 N 26.352498°
E 26.471558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573524475097656 y=0.424064636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573524475097656 × 216)
    floor (0.573524475097656 × 65536)
    floor (37586.5)     		tx = 37586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424064636230469 × 216)
    floor (0.424064636230469 × 65536)
    floor (27791.5)     		ty = 27791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37586 / 27791 ti = "16/37586/27791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37586/27791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37586 ÷ 216
    37586 ÷ 65536     		x = 0.573516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27791 ÷ 216
    27791 ÷ 65536     		y = 0.424057006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573516845703125 × 2 - 1) × π
    0.14703369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46191996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424057006835938 × 2 - 1) × π
    0.151885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.477163898818039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46191996} λ = 0.46191996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477163898818039))-π/2
    2×atan(1.61149754495363)-π/2
    2×1.01541004465314-π/2
    2.03082008930628-1.57079632675     		φ = 0.46002376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46191996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.466064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46002376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.357420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37586 KachelY 27791 0.46191996 0.46002376 26.466064 26.357420
    Oben rechts KachelX + 1 37587 KachelY 27791 0.46201584 0.46002376 26.471558 26.357420
    Unten links KachelX 37586 KachelY + 1 27792 0.46191996 0.45993785 26.466064 26.352498
    Unten rechts KachelX + 1 37587 KachelY + 1 27792 0.46201584 0.45993785 26.471558 26.352498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46002376-0.45993785) × R
    8.59100000000224e-05 × 6371000     		dl = 547.332610000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46002376-0.45993785) × R
    8.59100000000224e-05 × 6371000     		dr = 547.332610000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46191996-0.46201584) × cos(0.46002376) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896041949065577 × 6371000     		do = 547.34855072875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46191996-0.46201584) × cos(0.45993785) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896080087169799 × 6371000     		du = 547.371847446159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46002376)-sin(0.45993785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896041949065577-0.896080087169799)×R²
    abs(0.46201584-0.46191996)×3.81381042220408e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.81381042220408e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.81381042220408e-05×40589641000000     		ar = 299588.086561017m²