Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37581 / 27916
↖ ↑ ↗
← N 25.740529°
E 26.438599°		 ← 550.18 m → N 25.740529°
E 26.444092°		 →
↑
550.20 m
↓
↑
550.20 m
↓
N 25.735581°
E 26.438599°		 ← 550.20 m →
302 715 m²		 N 25.735581°
E 26.444092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573448181152344 y=0.425971984863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573448181152344 × 216)
    floor (0.573448181152344 × 65536)
    floor (37581.5)     		tx = 37581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425971984863281 × 216)
    floor (0.425971984863281 × 65536)
    floor (27916.5)     		ty = 27916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37581 / 27916 ti = "16/37581/27916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37581/27916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37581 ÷ 216
    37581 ÷ 65536     		x = 0.573440551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27916 ÷ 216
    27916 ÷ 65536     		y = 0.42596435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573440551757812 × 2 - 1) × π
    0.146881103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46144060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42596435546875 × 2 - 1) × π
    0.1480712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.465179673913025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46144060} λ = 0.46144060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.465179673913025))-π/2
    2×atan(1.59230025800482)-π/2
    2×1.0100266553286-π/2
    2.0200533106572-1.57079632675     		φ = 0.44925698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46144060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.438599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44925698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.740529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37581 KachelY 27916 0.46144060 0.44925698 26.438599 25.740529
    Oben rechts KachelX + 1 37582 KachelY 27916 0.46153647 0.44925698 26.444092 25.740529
    Unten links KachelX 37581 KachelY + 1 27917 0.46144060 0.44917062 26.438599 25.735581
    Unten rechts KachelX + 1 37582 KachelY + 1 27917 0.46153647 0.44917062 26.444092 25.735581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44925698-0.44917062) × R
    8.6359999999952e-05 × 6371000     		dl = 550.199559999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44925698-0.44917062) × R
    8.6359999999952e-05 × 6371000     		dr = 550.199559999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46144060-0.46153647) × cos(0.44925698) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900770041855264 × 6371000     		do = 550.179325147571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46144060-0.46153647) × cos(0.44917062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90080754433021 × 6371000     		du = 550.202231200613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44925698)-sin(0.44917062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900770041855264-0.90080754433021)×R²
    abs(0.46153647-0.46144060)×3.75024749459385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.75024749459385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.75024749459385e-05×40589641000000     		ar = 302714.724255436m²