Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37581 / 27852
↖ ↑ ↗
← N 26.056783°
E 26.438599°		 ← 548.71 m → N 26.056783°
E 26.444092°		 →
↑
548.73 m
↓
↑
548.73 m
↓
N 26.051848°
E 26.438599°		 ← 548.73 m →
301 101 m²		 N 26.051848°
E 26.444092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573448181152344 y=0.424995422363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573448181152344 × 216)
    floor (0.573448181152344 × 65536)
    floor (37581.5)     		tx = 37581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424995422363281 × 216)
    floor (0.424995422363281 × 65536)
    floor (27852.5)     		ty = 27852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37581 / 27852 ti = "16/37581/27852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37581/27852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37581 ÷ 216
    37581 ÷ 65536     		x = 0.573440551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27852 ÷ 216
    27852 ÷ 65536     		y = 0.42498779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573440551757812 × 2 - 1) × π
    0.146881103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46144060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42498779296875 × 2 - 1) × π
    0.1500244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.471315597064392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46144060} λ = 0.46144060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471315597064392))-π/2
    2×atan(1.60210052611989)-π/2
    2×1.01278649030847-π/2
    2.02557298061694-1.57079632675     		φ = 0.45477665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46144060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.438599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45477665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.056783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37581 KachelY 27852 0.46144060 0.45477665 26.438599 26.056783
    Oben rechts KachelX + 1 37582 KachelY 27852 0.46153647 0.45477665 26.444092 26.056783
    Unten links KachelX 37581 KachelY + 1 27853 0.46144060 0.45469052 26.438599 26.051848
    Unten rechts KachelX + 1 37582 KachelY + 1 27853 0.46153647 0.45469052 26.444092 26.051848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45477665-0.45469052) × R
    8.61300000000176e-05 × 6371000     		dl = 548.734230000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45477665-0.45469052) × R
    8.61300000000176e-05 × 6371000     		dr = 548.734230000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46144060-0.46153647) × cos(0.45477665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898359159680558 × 6371000     		do = 548.70678780035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46144060-0.46153647) × cos(0.45469052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.898396989956503 × 6371000     		du = 548.729894070233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45477665)-sin(0.45469052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898359159680558-0.898396989956503)×R²
    abs(0.46153647-0.46144060)×3.7830275944839e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7830275944839e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7830275944839e-05×40589641000000     		ar = 301100.536486314m²