Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3758 / 5350
↖ ↑ ↗
← S 48.166086°
W 14.853515°		 ← 3 259.16 m → S 48.166086°
W 14.809570°		 →
↑
3 258.19 m
↓
↑
3 258.19 m
↓
S 48.195387°
W 14.853515°		 ← 3 257.30 m →
10 615 946 m²		 S 48.195387°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45880126953125 y=0.65313720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45880126953125 × 213)
    floor (0.45880126953125 × 8192)
    floor (3758.5)     		tx = 3758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65313720703125 × 213)
    floor (0.65313720703125 × 8192)
    floor (5350.5)     		ty = 5350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3758 / 5350 ti = "13/3758/5350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3758/5350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3758 ÷ 213
    3758 ÷ 8192     		x = 0.458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5350 ÷ 213
    5350 ÷ 8192     		y = 0.653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653076171875 × 2 - 1) × π
    -0.30615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.961805953976807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25924275} λ = -0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961805953976807))-π/2
    2×atan(0.382202023066072)-π/2
    2×0.365069774227315-π/2
    0.730139548454631-1.57079632675     		φ = -0.84065678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84065678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.166086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3758 KachelY 5350 -0.25924275 -0.84065678 -14.853515 -48.166086
    Oben rechts KachelX + 1 3759 KachelY 5350 -0.25847576 -0.84065678 -14.809570 -48.166086
    Unten links KachelX 3758 KachelY + 1 5351 -0.25924275 -0.84116819 -14.853515 -48.195387
    Unten rechts KachelX + 1 3759 KachelY + 1 5351 -0.25847576 -0.84116819 -14.809570 -48.195387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84065678--0.84116819) × R
    0.00051140999999999 × 6371000     		dl = 3258.19310999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84065678--0.84116819) × R
    0.00051140999999999 × 6371000     		dr = 3258.19310999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25924275--0.25847576) × cos(-0.84065678) × R
    0.000766990000000023 × 0.666973615209768 × 6371000     		do = 3259.16209532967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25924275--0.25847576) × cos(-0.84116819) × R
    0.000766990000000023 × 0.666592485960353 × 6371000     		du = 3257.29970980978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84065678)-sin(-0.84116819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666973615209768-0.666592485960353)×R²
    abs(-0.25847576--0.25924275)×0.000381129249414469×R²
    0.000766990000000023×0.000381129249414469×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381129249414469×40589641000000     		ar = 10615945.7089131m²