Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3758 / 5265
↖ ↑ ↗
← S 45.614038°
W 14.853515°		 ← 3 418.04 m → S 45.614038°
W 14.809570°		 →
↑
3 417.09 m
↓
↑
3 417.09 m
↓
S 45.644768°
W 14.853515°		 ← 3 416.17 m →
11 676 552 m²		 S 45.644768°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45880126953125 y=0.64276123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45880126953125 × 213)
    floor (0.45880126953125 × 8192)
    floor (3758.5)     		tx = 3758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64276123046875 × 213)
    floor (0.64276123046875 × 8192)
    floor (5265.5)     		ty = 5265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3758 / 5265 ti = "13/3758/5265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3758/5265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3758 ÷ 213
    3758 ÷ 8192     		x = 0.458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5265 ÷ 213
    5265 ÷ 8192     		y = 0.6427001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6427001953125 × 2 - 1) × π
    -0.285400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.89661177049353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25924275} λ = -0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89661177049353))-π/2
    2×atan(0.40794954742615)-π/2
    2×0.387340594428439-π/2
    0.774681188856878-1.57079632675     		φ = -0.79611514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79611514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.614038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3758 KachelY 5265 -0.25924275 -0.79611514 -14.853515 -45.614038
    Oben rechts KachelX + 1 3759 KachelY 5265 -0.25847576 -0.79611514 -14.809570 -45.614038
    Unten links KachelX 3758 KachelY + 1 5266 -0.25924275 -0.79665149 -14.853515 -45.644768
    Unten rechts KachelX + 1 3759 KachelY + 1 5266 -0.25847576 -0.79665149 -14.809570 -45.644768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79611514--0.79665149) × R
    0.000536349999999963 × 6371000     		dl = 3417.08584999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79611514--0.79665149) × R
    0.000536349999999963 × 6371000     		dr = 3417.08584999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25924275--0.25847576) × cos(-0.79611514) × R
    0.000766990000000023 × 0.69948827293058 × 6371000     		do = 3418.04475210907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25924275--0.25847576) × cos(-0.79665149) × R
    0.000766990000000023 × 0.699104872987187 × 6371000     		du = 3416.17127085829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79611514)-sin(-0.79665149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69948827293058-0.699104872987187)×R²
    abs(-0.25847576--0.25924275)×0.000383399943392759×R²
    0.000766990000000023×0.000383399943392759×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383399943392759×40589641000000     		ar = 11676551.7138816m²