Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3758 / 2612
↖ ↑ ↗
← N 54.470038°
W 14.853515°		 ← 2 839.68 m → N 54.470038°
W 14.809570°		 →
↑
2 840.57 m
↓
↑
2 840.57 m
↓
N 54.444492°
W 14.853515°		 ← 2 841.45 m →
8 068 842 m²		 N 54.444492°
W 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45880126953125 y=0.31890869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45880126953125 × 213)
    floor (0.45880126953125 × 8192)
    floor (3758.5)     		tx = 3758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31890869140625 × 213)
    floor (0.31890869140625 × 8192)
    floor (2612.5)     		ty = 2612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3758 / 2612 ti = "13/3758/2612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3758/2612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3758 ÷ 213
    3758 ÷ 8192     		x = 0.458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2612 ÷ 213
    2612 ÷ 8192     		y = 0.31884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458740234375 × 2 - 1) × π
    -0.08251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25924275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31884765625 × 2 - 1) × π
    0.3623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13821374457861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25924275} λ = -0.25924275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13821374457861))-π/2
    2×atan(3.12118814357671)-π/2
    2×1.2607389134023-π/2
    2.5214778268046-1.57079632675     		φ = 0.95068150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25924275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95068150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.470038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3758 KachelY 2612 -0.25924275 0.95068150 -14.853515 54.470038
    Oben rechts KachelX + 1 3759 KachelY 2612 -0.25847576 0.95068150 -14.809570 54.470038
    Unten links KachelX 3758 KachelY + 1 2613 -0.25924275 0.95023564 -14.853515 54.444492
    Unten rechts KachelX + 1 3759 KachelY + 1 2613 -0.25847576 0.95023564 -14.809570 54.444492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95068150-0.95023564) × R
    0.000445859999999909 × 6371000     		dl = 2840.57405999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95068150-0.95023564) × R
    0.000445859999999909 × 6371000     		dr = 2840.57405999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25924275--0.25847576) × cos(0.95068150) × R
    0.000766990000000023 × 0.581128611761183 × 6371000     		do = 2839.68106199812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25924275--0.25847576) × cos(0.95023564) × R
    0.000766990000000023 × 0.58149140008678 × 6371000     		du = 2841.45382471684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95068150)-sin(0.95023564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.581128611761183-0.58149140008678)×R²
    abs(-0.25847576--0.25924275)×0.000362788325596886×R²
    0.000766990000000023×0.000362788325596886×6371000²
    0.000766990000000023×0.000362788325596886×40589641000000     		ar = 8068842.32894648m²