Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37575 / 27944
↖ ↑ ↗
← N 25.601902°
E 26.405639°		 ← 550.88 m → N 25.601902°
E 26.411133°		 →
↑
550.84 m
↓
↑
550.84 m
↓
N 25.596949°
E 26.405639°		 ← 550.90 m →
303 450 m²		 N 25.596949°
E 26.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573356628417969 y=0.426399230957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573356628417969 × 216)
    floor (0.573356628417969 × 65536)
    floor (37575.5)     		tx = 37575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426399230957031 × 216)
    floor (0.426399230957031 × 65536)
    floor (27944.5)     		ty = 27944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37575 / 27944 ti = "16/37575/27944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37575/27944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37575 ÷ 216
    37575 ÷ 65536     		x = 0.573348999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27944 ÷ 216
    27944 ÷ 65536     		y = 0.4263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573348999023438 × 2 - 1) × π
    0.146697998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46086535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4263916015625 × 2 - 1) × π
    0.147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.462495207534302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46086535} λ = 0.46086535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.462495207534302))-π/2
    2×atan(1.58803151371115)-π/2
    2×1.00881690800661-π/2
    2.01763381601323-1.57079632675     		φ = 0.44683749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46086535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.405639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44683749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.601902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37575 KachelY 27944 0.46086535 0.44683749 26.405639 25.601902
    Oben rechts KachelX + 1 37576 KachelY 27944 0.46096123 0.44683749 26.411133 25.601902
    Unten links KachelX 37575 KachelY + 1 27945 0.46086535 0.44675103 26.405639 25.596949
    Unten rechts KachelX + 1 37576 KachelY + 1 27945 0.46096123 0.44675103 26.411133 25.596949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44683749-0.44675103) × R
    8.64600000000104e-05 × 6371000     		dl = 550.836660000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44683749-0.44675103) × R
    8.64600000000104e-05 × 6371000     		dr = 550.836660000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46086535-0.46096123) × cos(0.44683749) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901818180017623 × 6371000     		do = 550.876969954629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46086535-0.46096123) × cos(0.44675103) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.901855537369503 × 6371000     		du = 550.899789748314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44683749)-sin(0.44675103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901818180017623-0.901855537369503)×R²
    abs(0.46096123-0.46086535)×3.73573518804848e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.73573518804848e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.73573518804848e-05×40589641000000     		ar = 303449.51537925m²