Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37572 / 27579
↖ ↑ ↗
← N 27.396155°
E 26.389160°		 ← 542.34 m → N 27.396155°
E 26.394654°		 →
↑
542.30 m
↓
↑
542.30 m
↓
N 27.391278°
E 26.389160°		 ← 542.37 m →
294 118 m²		 N 27.391278°
E 26.394654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573310852050781 y=0.420829772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573310852050781 × 216)
    floor (0.573310852050781 × 65536)
    floor (37572.5)     		tx = 37572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420829772949219 × 216)
    floor (0.420829772949219 × 65536)
    floor (27579.5)     		ty = 27579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37572 / 27579 ti = "16/37572/27579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37572/27579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37572 ÷ 216
    37572 ÷ 65536     		x = 0.57330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27579 ÷ 216
    27579 ÷ 65536     		y = 0.420822143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57330322265625 × 2 - 1) × π
    0.1466064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46057773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420822143554688 × 2 - 1) × π
    0.158355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.497489144256943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46057773} λ = 0.46057773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497489144256943))-π/2
    2×atan(1.64458676217826)-π/2
    2×1.02447472058398-π/2
    2.04894944116797-1.57079632675     		φ = 0.47815311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46057773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.389160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47815311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.396155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37572 KachelY 27579 0.46057773 0.47815311 26.389160 27.396155
    Oben rechts KachelX + 1 37573 KachelY 27579 0.46067361 0.47815311 26.394654 27.396155
    Unten links KachelX 37572 KachelY + 1 27580 0.46057773 0.47806799 26.389160 27.391278
    Unten rechts KachelX + 1 37573 KachelY + 1 27580 0.46067361 0.47806799 26.394654 27.391278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47815311-0.47806799) × R
    8.51199999999941e-05 × 6371000     		dl = 542.299519999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47815311-0.47806799) × R
    8.51199999999941e-05 × 6371000     		dr = 542.299519999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46057773-0.46067361) × cos(0.47815311) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887846264865356 × 6371000     		do = 542.342204905433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46057773-0.46067361) × cos(0.47806799) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887885428783309 × 6371000     		du = 542.366128242677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47815311)-sin(0.47806799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887846264865356-0.887885428783309)×R²
    abs(0.46067361-0.46057773)×3.91639179532222e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.91639179532222e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.91639179532222e-05×40589641000000     		ar = 294118.404380484m²