Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3757 / 5266
↖ ↑ ↗
← S 45.644768°
W 14.897461°		 ← 3 416.17 m → S 45.644768°
W 14.853515°		 →
↑
3 415.24 m
↓
↑
3 415.24 m
↓
S 45.675482°
W 14.897461°		 ← 3 414.30 m →
11 663 840 m²		 S 45.675482°
W 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45867919921875 y=0.64288330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45867919921875 × 213)
    floor (0.45867919921875 × 8192)
    floor (3757.5)     		tx = 3757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64288330078125 × 213)
    floor (0.64288330078125 × 8192)
    floor (5266.5)     		ty = 5266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3757 / 5266 ti = "13/3757/5266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3757/5266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3757 ÷ 213
    3757 ÷ 8192     		x = 0.4586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5266 ÷ 213
    5266 ÷ 8192     		y = 0.642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.28564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.897378760887451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26000974} λ = -0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.897378760887451))-π/2
    2×atan(0.407636774004507)-π/2
    2×0.387072417551696-π/2
    0.774144835103393-1.57079632675     		φ = -0.79665149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79665149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.644768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3757 KachelY 5266 -0.26000974 -0.79665149 -14.897461 -45.644768
    Oben rechts KachelX + 1 3758 KachelY 5266 -0.25924275 -0.79665149 -14.853515 -45.644768
    Unten links KachelX 3757 KachelY + 1 5267 -0.26000974 -0.79718755 -14.897461 -45.675482
    Unten rechts KachelX + 1 3758 KachelY + 1 5267 -0.25924275 -0.79718755 -14.853515 -45.675482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79665149--0.79718755) × R
    0.000536059999999949 × 6371000     		dl = 3415.23825999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79665149--0.79718755) × R
    0.000536059999999949 × 6371000     		dr = 3415.23825999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26000974--0.25924275) × cos(-0.79665149) × R
    0.000766989999999967 × 0.699104872987187 × 6371000     		do = 3416.17127085805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26000974--0.25924275) × cos(-0.79718755) × R
    0.000766989999999967 × 0.698721479395608 × 6371000     		du = 3414.29782064537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79665149)-sin(-0.79718755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699104872987187-0.698721479395608)×R²
    abs(-0.25924275--0.26000974)×0.000383393591578907×R²
    0.000766989999999967×0.000383393591578907×6371000²
    0.000766989999999967×0.000383393591578907×40589641000000     		ar = 11663839.9668337m²