Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3757 / 5229
↖ ↑ ↗
← S 44.496505°
W 14.897461°		 ← 3 485.50 m → S 44.496505°
W 14.853515°		 →
↑
3 484.62 m
↓
↑
3 484.62 m
↓
S 44.527843°
W 14.897461°		 ← 3 483.63 m →
12 142 382 m²		 S 44.527843°
W 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45867919921875 y=0.63836669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45867919921875 × 213)
    floor (0.45867919921875 × 8192)
    floor (3757.5)     		tx = 3757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63836669921875 × 213)
    floor (0.63836669921875 × 8192)
    floor (5229.5)     		ty = 5229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3757 / 5229 ti = "13/3757/5229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3757/5229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3757 ÷ 213
    3757 ÷ 8192     		x = 0.4586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5229 ÷ 213
    5229 ÷ 8192     		y = 0.6383056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6383056640625 × 2 - 1) × π
    -0.276611328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.869000116312378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26000974} λ = -0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869000116312378))-π/2
    2×atan(0.419370661564502)-π/2
    2×0.397092901576911-π/2
    0.794185803153823-1.57079632675     		φ = -0.77661052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77661052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.496505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3757 KachelY 5229 -0.26000974 -0.77661052 -14.897461 -44.496505
    Oben rechts KachelX + 1 3758 KachelY 5229 -0.25924275 -0.77661052 -14.853515 -44.496505
    Unten links KachelX 3757 KachelY + 1 5230 -0.26000974 -0.77715747 -14.897461 -44.527843
    Unten rechts KachelX + 1 3758 KachelY + 1 5230 -0.25924275 -0.77715747 -14.853515 -44.527843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77661052--0.77715747) × R
    0.000546950000000046 × 6371000     		dl = 3484.61845000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77661052--0.77715747) × R
    0.000546950000000046 × 6371000     		dr = 3484.61845000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26000974--0.25924275) × cos(-0.77661052) × R
    0.000766989999999967 × 0.71329320128603 × 6371000     		do = 3485.50244188666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26000974--0.25924275) × cos(-0.77715747) × R
    0.000766989999999967 × 0.712909756087121 × 6371000     		du = 3483.6287394951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77661052)-sin(-0.77715747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71329320128603-0.712909756087121)×R²
    abs(-0.25924275--0.26000974)×0.000383445198909538×R²
    0.000766989999999967×0.000383445198909538×6371000²
    0.000766989999999967×0.000383445198909538×40589641000000     		ar = 12142381.8502629m²