Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37569 / 27205
↖ ↑ ↗
← N 29.204919°
E 26.372681°		 ← 533.14 m → N 29.204919°
E 26.378174°		 →
↑
533.19 m
↓
↑
533.19 m
↓
N 29.200124°
E 26.372681°		 ← 533.17 m →
284 273 m²		 N 29.200124°
E 26.378174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573265075683594 y=0.415122985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573265075683594 × 216)
    floor (0.573265075683594 × 65536)
    floor (37569.5)     		tx = 37569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415122985839844 × 216)
    floor (0.415122985839844 × 65536)
    floor (27205.5)     		ty = 27205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37569 / 27205 ti = "16/37569/27205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37569/27205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37569 ÷ 216
    37569 ÷ 65536     		x = 0.573257446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27205 ÷ 216
    27205 ÷ 65536     		y = 0.415115356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573257446289062 × 2 - 1) × π
    0.146514892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46029011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415115356445312 × 2 - 1) × π
    0.169769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.533345945172745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46029011} λ = 0.46029011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.533345945172745))-π/2
    2×atan(1.70462636366114)-π/2
    2×1.04025915587664-π/2
    2.08051831175329-1.57079632675     		φ = 0.50972199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46029011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.372681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50972199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.204919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37569 KachelY 27205 0.46029011 0.50972199 26.372681 29.204919
    Oben rechts KachelX + 1 37570 KachelY 27205 0.46038598 0.50972199 26.378174 29.204919
    Unten links KachelX 37569 KachelY + 1 27206 0.46029011 0.50963830 26.372681 29.200124
    Unten rechts KachelX + 1 37570 KachelY + 1 27206 0.46038598 0.50963830 26.378174 29.200124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50972199-0.50963830) × R
    8.36899999999696e-05 × 6371000     		dl = 533.188989999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50972199-0.50963830) × R
    8.36899999999696e-05 × 6371000     		dr = 533.188989999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46029011-0.46038598) × cos(0.50972199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87288019207339 × 6371000     		do = 533.144545993666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46029011-0.46038598) × cos(0.50963830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872921024262875 × 6371000     		du = 533.169485795625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50972199)-sin(0.50963830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87288019207339-0.872921024262875)×R²
    abs(0.46038598-0.46029011)×4.08321894849184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08321894849184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08321894849184e-05×40589641000000     		ar = 284273.450981946m²