Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37568 / 27584
↖ ↑ ↗
← N 27.371767°
E 26.367188°		 ← 542.41 m → N 27.371767°
E 26.372681°		 →
↑
542.43 m
↓
↑
542.43 m
↓
N 27.366889°
E 26.367188°		 ← 542.43 m →
294 222 m²		 N 27.366889°
E 26.372681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573249816894531 y=0.420906066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573249816894531 × 216)
    floor (0.573249816894531 × 65536)
    floor (37568.5)     		tx = 37568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420906066894531 × 216)
    floor (0.420906066894531 × 65536)
    floor (27584.5)     		ty = 27584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37568 / 27584 ti = "16/37568/27584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37568/27584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37568 ÷ 216
    37568 ÷ 65536     		x = 0.5732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27584 ÷ 216
    27584 ÷ 65536     		y = 0.4208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5732421875 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46019424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    0.158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.497009775260742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46019424} λ = 0.46019424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497009775260742))-π/2
    2×atan(1.64379858720132)-π/2
    2×1.02426189413306-π/2
    2.04852378826613-1.57079632675     		φ = 0.47772746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46019424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.367188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47772746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.371767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37568 KachelY 27584 0.46019424 0.47772746 26.367188 27.371767
    Oben rechts KachelX + 1 37569 KachelY 27584 0.46029011 0.47772746 26.372681 27.371767
    Unten links KachelX 37568 KachelY + 1 27585 0.46019424 0.47764232 26.367188 27.366889
    Unten rechts KachelX + 1 37569 KachelY + 1 27585 0.46029011 0.47764232 26.372681 27.366889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47772746-0.47764232) × R
    8.51399999999836e-05 × 6371000     		dl = 542.426939999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47772746-0.47764232) × R
    8.51399999999836e-05 × 6371000     		dr = 542.426939999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46019424-0.46029011) × cos(0.47772746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88804204310942 × 6371000     		do = 542.405219177034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46019424-0.46029011) × cos(0.47764232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.888081184049 × 6371000     		du = 542.429125984237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47772746)-sin(0.47764232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88804204310942-0.888081184049)×R²
    abs(0.46029011-0.46019424)×3.91409395805731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91409395805731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91409395805731e-05×40589641000000     		ar = 294221.687304095m²