Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37565 / 28216
↖ ↑ ↗
← N 24.246965°
E 26.350708°		 ← 556.96 m → N 24.246965°
E 26.356201°		 →
↑
556.95 m
↓
↑
556.95 m
↓
N 24.241956°
E 26.350708°		 ← 556.99 m →
310 209 m²		 N 24.241956°
E 26.356201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573204040527344 y=0.430549621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573204040527344 × 216)
    floor (0.573204040527344 × 65536)
    floor (37565.5)     		tx = 37565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430549621582031 × 216)
    floor (0.430549621582031 × 65536)
    floor (28216.5)     		ty = 28216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37565 / 28216 ti = "16/37565/28216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37565/28216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37565 ÷ 216
    37565 ÷ 65536     		x = 0.573196411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28216 ÷ 216
    28216 ÷ 65536     		y = 0.4305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573196411132812 × 2 - 1) × π
    0.146392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45990661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4305419921875 × 2 - 1) × π
    0.138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.436417534140991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45990661} λ = 0.45990661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436417534140991))-π/2
    2×atan(1.54715464979441)-π/2
    2×0.996992845935217-π/2
    1.99398569187043-1.57079632675     		φ = 0.42318937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45990661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.350708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42318937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.246965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37565 KachelY 28216 0.45990661 0.42318937 26.350708 24.246965
    Oben rechts KachelX + 1 37566 KachelY 28216 0.46000249 0.42318937 26.356201 24.246965
    Unten links KachelX 37565 KachelY + 1 28217 0.45990661 0.42310195 26.350708 24.241956
    Unten rechts KachelX + 1 37566 KachelY + 1 28217 0.46000249 0.42310195 26.356201 24.241956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42318937-0.42310195) × R
    8.74200000000047e-05 × 6371000     		dl = 556.95282000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42318937-0.42310195) × R
    8.74200000000047e-05 × 6371000     		dr = 556.95282000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45990661-0.46000249) × cos(0.42318937) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911783799557537 × 6371000     		do = 556.964483399702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45990661-0.46000249) × cos(0.42310195) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911819696893166 × 6371000     		du = 556.986411340299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42318937)-sin(0.42310195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911783799557537-0.911819696893166)×R²
    abs(0.46000249-0.45990661)×3.58973356294756e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.58973356294756e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.58973356294756e-05×40589641000000     		ar = 310209.046280966m²