Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37565 / 27581
↖ ↑ ↗
← N 27.386401°
E 26.350708°		 ← 542.39 m → N 27.386401°
E 26.356201°		 →
↑
542.36 m
↓
↑
542.36 m
↓
N 27.381523°
E 26.350708°		 ← 542.41 m →
294 179 m²		 N 27.381523°
E 26.356201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573204040527344 y=0.420860290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573204040527344 × 216)
    floor (0.573204040527344 × 65536)
    floor (37565.5)     		tx = 37565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420860290527344 × 216)
    floor (0.420860290527344 × 65536)
    floor (27581.5)     		ty = 27581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37565 / 27581 ti = "16/37565/27581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37565/27581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37565 ÷ 216
    37565 ÷ 65536     		x = 0.573196411132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27581 ÷ 216
    27581 ÷ 65536     		y = 0.420852661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573196411132812 × 2 - 1) × π
    0.146392822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45990661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420852661132812 × 2 - 1) × π
    0.158294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.497297396658463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45990661} λ = 0.45990661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.497297396658463))-π/2
    2×atan(1.64427144684756)-π/2
    2×1.02438959563477-π/2
    2.04877919126954-1.57079632675     		φ = 0.47798286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45990661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.350708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47798286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.386401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37565 KachelY 27581 0.45990661 0.47798286 26.350708 27.386401
    Oben rechts KachelX + 1 37566 KachelY 27581 0.46000249 0.47798286 26.356201 27.386401
    Unten links KachelX 37565 KachelY + 1 27582 0.45990661 0.47789773 26.350708 27.381523
    Unten rechts KachelX + 1 37566 KachelY + 1 27582 0.46000249 0.47789773 26.356201 27.381523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47798286-0.47789773) × R
    8.51299999999888e-05 × 6371000     		dl = 542.363229999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47798286-0.47789773) × R
    8.51299999999888e-05 × 6371000     		dr = 542.363229999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45990661-0.46000249) × cos(0.47798286) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887924590868055 × 6371000     		do = 542.390050460104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45990661-0.46000249) × cos(0.47789773) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.887963746517907 × 6371000     		du = 542.413968746767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47798286)-sin(0.47789773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887924590868055-0.887963746517907)×R²
    abs(0.46000249-0.45990661)×3.91556498524626e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.91556498524626e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.91556498524626e-05×40589641000000     		ar = 294178.906064659m²