Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37564 / 28212
↖ ↑ ↗
← N 24.266997°
E 26.345215°		 ← 556.82 m → N 24.266997°
E 26.350708°		 →
↑
556.83 m
↓
↑
556.83 m
↓
N 24.261990°
E 26.345215°		 ← 556.84 m →
310 057 m²		 N 24.261990°
E 26.350708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573188781738281 y=0.430488586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573188781738281 × 216)
    floor (0.573188781738281 × 65536)
    floor (37564.5)     		tx = 37564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430488586425781 × 216)
    floor (0.430488586425781 × 65536)
    floor (28212.5)     		ty = 28212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37564 / 28212 ti = "16/37564/28212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37564/28212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37564 ÷ 216
    37564 ÷ 65536     		x = 0.57318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28212 ÷ 216
    28212 ÷ 65536     		y = 0.43048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57318115234375 × 2 - 1) × π
    0.1463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45981074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43048095703125 × 2 - 1) × π
    0.1390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.436801029337952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45981074} λ = 0.45981074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436801029337952))-π/2
    2×atan(1.54774808995502)-π/2
    2×0.997167664519474-π/2
    1.99433532903895-1.57079632675     		φ = 0.42353900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45981074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42353900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.266997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37564 KachelY 28212 0.45981074 0.42353900 26.345215 24.266997
    Oben rechts KachelX + 1 37565 KachelY 28212 0.45990661 0.42353900 26.350708 24.266997
    Unten links KachelX 37564 KachelY + 1 28213 0.45981074 0.42345160 26.345215 24.261990
    Unten rechts KachelX + 1 37565 KachelY + 1 28213 0.45990661 0.42345160 26.350708 24.261990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42353900-0.42345160) × R
    8.74000000000152e-05 × 6371000     		dl = 556.825400000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42353900-0.42345160) × R
    8.74000000000152e-05 × 6371000     		dr = 556.825400000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45981074-0.45990661) × cos(0.42353900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911640161086374 × 6371000     		do = 556.818661032375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45981074-0.45990661) × cos(0.42345160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911676078070522 × 6371000     		du = 556.840598687028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42353900)-sin(0.42345160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911640161086374-0.911676078070522)×R²
    abs(0.45990661-0.45981074)×3.59169841478435e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59169841478435e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59169841478435e-05×40589641000000     		ar = 310056.881575931m²