Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37562 / 28506
↖ ↑ ↗
← N 22.786311°
E 26.334228°		 ← 563.18 m → N 22.786311°
E 26.339722°		 →
↑
563.20 m
↓
↑
563.20 m
↓
N 22.781246°
E 26.334228°		 ← 563.20 m →
317 186 m²		 N 22.781246°
E 26.339722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573158264160156 y=0.434974670410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573158264160156 × 216)
    floor (0.573158264160156 × 65536)
    floor (37562.5)     		tx = 37562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434974670410156 × 216)
    floor (0.434974670410156 × 65536)
    floor (28506.5)     		ty = 28506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37562 / 28506 ti = "16/37562/28506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37562/28506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37562 ÷ 216
    37562 ÷ 65536     		x = 0.573150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28506 ÷ 216
    28506 ÷ 65536     		y = 0.434967041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573150634765625 × 2 - 1) × π
    0.14630126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45961899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434967041015625 × 2 - 1) × π
    0.13006591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.408614132361359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45961899} λ = 0.45961899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.408614132361359))-π/2
    2×atan(1.50473098145796)-π/2
    2×0.984246237218353-π/2
    1.96849247443671-1.57079632675     		φ = 0.39769615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45961899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.334228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39769615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.786311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37562 KachelY 28506 0.45961899 0.39769615 26.334228 22.786311
    Oben rechts KachelX + 1 37563 KachelY 28506 0.45971487 0.39769615 26.339722 22.786311
    Unten links KachelX 37562 KachelY + 1 28507 0.45961899 0.39760775 26.334228 22.781246
    Unten rechts KachelX + 1 37563 KachelY + 1 28507 0.45971487 0.39760775 26.339722 22.781246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39769615-0.39760775) × R
    8.8400000000044e-05 × 6371000     		dl = 563.19640000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39769615-0.39760775) × R
    8.8400000000044e-05 × 6371000     		dr = 563.19640000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45961899-0.45971487) × cos(0.39769615) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.921955710289096 × 6371000     		do = 563.178010124502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45961899-0.45971487) × cos(0.39760775) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.921989943593385 × 6371000     		du = 563.198921589093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39769615)-sin(0.39760775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921955710289096-0.921989943593385)×R²
    abs(0.45971487-0.45961899)×3.42333042890886e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.42333042890886e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.42333042890886e-05×40589641000000     		ar = 317185.716698624m²