Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37561 / 102211
↖ ↑ ↗
← S 70.439558°
W 76.835633°		 ← 102.26 m → S 70.439558°
W 76.832886°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 70.440477°
W 76.835633°		 ← 102.25 m →
10 449 m²		 S 70.440477°
W 76.832886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.286571502685547 y=0.779811859130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.286571502685547 × 217)
    floor (0.286571502685547 × 131072)
    floor (37561.5)     		tx = 37561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779811859130859 × 217)
    floor (0.779811859130859 × 131072)
    floor (102211.5)     		ty = 102211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37561 / 102211 ti = "17/37561/102211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37561/102211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37561 ÷ 217
    37561 ÷ 131072     		x = 0.286567687988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102211 ÷ 217
    102211 ÷ 131072     		y = 0.779808044433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.286567687988281 × 2 - 1) × π
    -0.426864624023438 × 3.1415926535     		Λ = -1.34103477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779808044433594 × 2 - 1) × π
    -0.559616088867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.75808579356556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.34103477} λ = -1.34103477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75808579356556))-π/2
    2×atan(0.172374508611824)-π/2
    2×0.170697060811593-π/2
    0.341394121623186-1.57079632675     		φ = -1.22940221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.34103477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.835633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22940221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.439558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37561 KachelY 102211 -1.34103477 -1.22940221 -76.835633 -70.439558
    Oben rechts KachelX + 1 37562 KachelY 102211 -1.34098683 -1.22940221 -76.832886 -70.439558
    Unten links KachelX 37561 KachelY + 1 102212 -1.34103477 -1.22941825 -76.835633 -70.440477
    Unten rechts KachelX + 1 37562 KachelY + 1 102212 -1.34098683 -1.22941825 -76.832886 -70.440477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22940221--1.22941825) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22940221--1.22941825) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.34103477--1.34098683) × cos(-1.22940221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334801077751447 × 6371000     		do = 102.256866924966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.34103477--1.34098683) × cos(-1.22941825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334785963395552 × 6371000     		du = 102.252250611632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22940221)-sin(-1.22941825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334801077751447-0.334785963395552)×R²
    abs(-1.34098683--1.34103477)×1.51143558947409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51143558947409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51143558947409e-05×40589641000000     		ar = 10449.4792545805m²