Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3756 / 5226
↖ ↑ ↗
← S 44.402392°
W 14.941406°		 ← 3 491.12 m → S 44.402392°
W 14.897461°		 →
↑
3 490.22 m
↓
↑
3 490.22 m
↓
S 44.433780°
W 14.941406°		 ← 3 489.25 m →
12 181 536 m²		 S 44.433780°
W 14.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45855712890625 y=0.63800048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45855712890625 × 213)
    floor (0.45855712890625 × 8192)
    floor (3756.5)     		tx = 3756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63800048828125 × 213)
    floor (0.63800048828125 × 8192)
    floor (5226.5)     		ty = 5226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3756 / 5226 ti = "13/3756/5226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3756/5226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3756 ÷ 213
    3756 ÷ 8192     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5226 ÷ 213
    5226 ÷ 8192     		y = 0.637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.27587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.866699145130615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.866699145130615))-π/2
    2×atan(0.420336732395574)-π/2
    2×0.397914196817139-π/2
    0.795828393634279-1.57079632675     		φ = -0.77496793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77496793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.402392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3756 KachelY 5226 -0.26077673 -0.77496793 -14.941406 -44.402392
    Oben rechts KachelX + 1 3757 KachelY 5226 -0.26000974 -0.77496793 -14.897461 -44.402392
    Unten links KachelX 3756 KachelY + 1 5227 -0.26077673 -0.77551576 -14.941406 -44.433780
    Unten rechts KachelX + 1 3757 KachelY + 1 5227 -0.26000974 -0.77551576 -14.897461 -44.433780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77496793--0.77551576) × R
    0.000547830000000027 × 6371000     		dl = 3490.22493000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77496793--0.77551576) × R
    0.000547830000000027 × 6371000     		dr = 3490.22493000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.26000974) × cos(-0.77496793) × R
    0.000766990000000023 × 0.714443473583078 × 6371000     		do = 3491.12323974811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.26000974) × cos(-0.77551576) × R
    0.000766990000000023 × 0.714060053487922 × 6371000     		du = 3489.24966002588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77496793)-sin(-0.77551576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714443473583078-0.714060053487922)×R²
    abs(-0.26000974--0.26077673)×0.000383420095155906×R²
    0.000766990000000023×0.000383420095155906×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383420095155906×40589641000000     		ar = 12181536.0623998m²