Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3756 / 1921
↖ ↑ ↗
← N 68.640555°
W 14.941406°		 ← 1 779.75 m → N 68.640555°
W 14.897461°		 →
↑
1 780.44 m
↓
↑
1 780.44 m
↓
N 68.624543°
W 14.941406°		 ← 1 781.02 m →
3 169 865 m²		 N 68.624543°
W 14.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45855712890625 y=0.23455810546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45855712890625 × 213)
    floor (0.45855712890625 × 8192)
    floor (3756.5)     		tx = 3756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23455810546875 × 213)
    floor (0.23455810546875 × 8192)
    floor (1921.5)     		ty = 1921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3756 / 1921 ti = "13/3756/1921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3756/1921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3756 ÷ 213
    3756 ÷ 8192     		x = 0.45849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1921 ÷ 213
    1921 ÷ 8192     		y = 0.2344970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45849609375 × 2 - 1) × π
    -0.0830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26077673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2344970703125 × 2 - 1) × π
    0.531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66820410677795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26077673} λ = -0.26077673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66820410677795))-π/2
    2×atan(5.30263627240199)-π/2
    2×1.38440000631614-π/2
    2.76880001263228-1.57079632675     		φ = 1.19800369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26077673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19800369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.640555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3756 KachelY 1921 -0.26077673 1.19800369 -14.941406 68.640555
    Oben rechts KachelX + 1 3757 KachelY 1921 -0.26000974 1.19800369 -14.897461 68.640555
    Unten links KachelX 3756 KachelY + 1 1922 -0.26077673 1.19772423 -14.941406 68.624543
    Unten rechts KachelX + 1 3757 KachelY + 1 1922 -0.26000974 1.19772423 -14.897461 68.624543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19800369-1.19772423) × R
    0.000279460000000009 × 6371000     		dl = 1780.43966000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19800369-1.19772423) × R
    0.000279460000000009 × 6371000     		dr = 1780.43966000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26077673--0.26000974) × cos(1.19800369) × R
    0.000766990000000023 × 0.364217670144992 × 6371000     		do = 1779.74720126299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26077673--0.26000974) × cos(1.19772423) × R
    0.000766990000000023 × 0.364477920888042 × 6371000     		du = 1781.01891477262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19800369)-sin(1.19772423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364217670144992-0.364477920888042)×R²
    abs(-0.26000974--0.26077673)×0.000260250743050305×R²
    0.000766990000000023×0.000260250743050305×6371000²
    0.000766990000000023×0.000260250743050305×40589641000000     		ar = 3169864.62711712m²