Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37559 / 27963
↖ ↑ ↗
← N 25.507742°
E 26.317749°		 ← 551.31 m → N 25.507742°
E 26.323242°		 →
↑
551.28 m
↓
↑
551.28 m
↓
N 25.502785°
E 26.317749°		 ← 551.33 m →
303 934 m²		 N 25.502785°
E 26.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573112487792969 y=0.426689147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573112487792969 × 216)
    floor (0.573112487792969 × 65536)
    floor (37559.5)     		tx = 37559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426689147949219 × 216)
    floor (0.426689147949219 × 65536)
    floor (27963.5)     		ty = 27963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37559 / 27963 ti = "16/37559/27963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37559/27963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37559 ÷ 216
    37559 ÷ 65536     		x = 0.573104858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27963 ÷ 216
    27963 ÷ 65536     		y = 0.426681518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573104858398438 × 2 - 1) × π
    0.146209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45933137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426681518554688 × 2 - 1) × π
    0.146636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46067360534874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45933137} λ = 0.45933137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46067360534874))-π/2
    2×atan(1.58514138516645)-π/2
    2×1.00799520803689-π/2
    2.01599041607378-1.57079632675     		φ = 0.44519409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45933137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.317749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44519409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.507742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37559 KachelY 27963 0.45933137 0.44519409 26.317749 25.507742
    Oben rechts KachelX + 1 37560 KachelY 27963 0.45942725 0.44519409 26.323242 25.507742
    Unten links KachelX 37559 KachelY + 1 27964 0.45933137 0.44510756 26.317749 25.502785
    Unten rechts KachelX + 1 37560 KachelY + 1 27964 0.45942725 0.44510756 26.323242 25.502785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44519409-0.44510756) × R
    8.65299999999736e-05 × 6371000     		dl = 551.282629999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44519409-0.44510756) × R
    8.65299999999736e-05 × 6371000     		dr = 551.282629999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45933137-0.45942725) × cos(0.44519409) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902527100825578 × 6371000     		do = 551.310015279371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45933137-0.45942725) × cos(0.44510756) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902564360125396 × 6371000     		du = 551.332775177808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44519409)-sin(0.44510756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902527100825578-0.902564360125396)×R²
    abs(0.45942725-0.45933137)×3.72592998171273e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.72592998171273e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.72592998171273e-05×40589641000000     		ar = 303933.908926345m²