Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37557 / 27956
↖ ↑ ↗
← N 25.542441°
E 26.306762°		 ← 551.15 m → N 25.542441°
E 26.312256°		 →
↑
551.09 m
↓
↑
551.09 m
↓
N 25.537485°
E 26.306762°		 ← 551.17 m →
303 741 m²		 N 25.537485°
E 26.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573081970214844 y=0.426582336425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573081970214844 × 216)
    floor (0.573081970214844 × 65536)
    floor (37557.5)     		tx = 37557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426582336425781 × 216)
    floor (0.426582336425781 × 65536)
    floor (27956.5)     		ty = 27956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37557 / 27956 ti = "16/37557/27956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37557/27956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37557 ÷ 216
    37557 ÷ 65536     		x = 0.573074340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27956 ÷ 216
    27956 ÷ 65536     		y = 0.42657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573074340820312 × 2 - 1) × π
    0.146148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45913962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42657470703125 × 2 - 1) × π
    0.1468505859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.46134472194342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45913962} λ = 0.45913962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46134472194342))-π/2
    2×atan(1.58620555690666)-π/2
    2×1.00829801471731-π/2
    2.01659602943462-1.57079632675     		φ = 0.44579970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45913962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.306762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44579970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.542441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37557 KachelY 27956 0.45913962 0.44579970 26.306762 25.542441
    Oben rechts KachelX + 1 37558 KachelY 27956 0.45923550 0.44579970 26.312256 25.542441
    Unten links KachelX 37557 KachelY + 1 27957 0.45913962 0.44571320 26.306762 25.537485
    Unten rechts KachelX + 1 37558 KachelY + 1 27957 0.45923550 0.44571320 26.312256 25.537485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44579970-0.44571320) × R
    8.65000000000449e-05 × 6371000     		dl = 551.091500000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44579970-0.44571320) × R
    8.65000000000449e-05 × 6371000     		dr = 551.091500000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45913962-0.45923550) × cos(0.44579970) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902266139647135 × 6371000     		do = 551.150606757297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45913962-0.45923550) × cos(0.44571320) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.902303433303567 × 6371000     		du = 551.173387642523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44579970)-sin(0.44571320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902266139647135-0.902303433303567)×R²
    abs(0.45923550-0.45913962)×3.72936564316806e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.72936564316806e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.72936564316806e-05×40589641000000     		ar = 303740.69196941m²