Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37556 / 28213
↖ ↑ ↗
← N 24.261990°
E 26.301269°		 ← 556.84 m → N 24.261990°
E 26.306762°		 →
↑
556.89 m
↓
↑
556.89 m
↓
N 24.256981°
E 26.301269°		 ← 556.86 m →
310 105 m²		 N 24.256981°
E 26.306762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573066711425781 y=0.430503845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573066711425781 × 216)
    floor (0.573066711425781 × 65536)
    floor (37556.5)     		tx = 37556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430503845214844 × 216)
    floor (0.430503845214844 × 65536)
    floor (28213.5)     		ty = 28213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37556 / 28213 ti = "16/37556/28213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37556/28213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37556 ÷ 216
    37556 ÷ 65536     		x = 0.57305908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28213 ÷ 216
    28213 ÷ 65536     		y = 0.430496215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57305908203125 × 2 - 1) × π
    0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430496215820312 × 2 - 1) × π
    0.139007568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.436705155538712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45904375} λ = 0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436705155538712))-π/2
    2×atan(1.54759970857842)-π/2
    2×0.997123962455689-π/2
    1.99424792491138-1.57079632675     		φ = 0.42345160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42345160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.261990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37556 KachelY 28213 0.45904375 0.42345160 26.301269 24.261990
    Oben rechts KachelX + 1 37557 KachelY 28213 0.45913962 0.42345160 26.306762 24.261990
    Unten links KachelX 37556 KachelY + 1 28214 0.45904375 0.42336419 26.301269 24.256981
    Unten rechts KachelX + 1 37557 KachelY + 1 28214 0.45913962 0.42336419 26.306762 24.256981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42345160-0.42336419) × R
    8.741000000001e-05 × 6371000     		dl = 556.889110000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42345160-0.42336419) × R
    8.741000000001e-05 × 6371000     		dr = 556.889110000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45904375-0.45913962) × cos(0.42345160) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.911676078070522 × 6371000     		do = 556.84059868735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45904375-0.45913962) × cos(0.42336419) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.911711992198895 × 6371000     		du = 556.86253459773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42345160)-sin(0.42336419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911676078070522-0.911711992198895)×R²
    abs(0.45913962-0.45904375)×3.59141283726716e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.59141283726716e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.59141283726716e-05×40589641000000     		ar = 310104.573547124m²