Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37555 / 28208
↖ ↑ ↗
← N 24.287027°
E 26.295777°		 ← 556.73 m → N 24.287027°
E 26.301269°		 →
↑
556.76 m
↓
↑
556.76 m
↓
N 24.282020°
E 26.295777°		 ← 556.75 m →
309 973 m²		 N 24.282020°
E 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.573051452636719 y=0.430427551269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.573051452636719 × 216)
    floor (0.573051452636719 × 65536)
    floor (37555.5)     		tx = 37555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430427551269531 × 216)
    floor (0.430427551269531 × 65536)
    floor (28208.5)     		ty = 28208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37555 / 28208 ti = "16/37555/28208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37555/28208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37555 ÷ 216
    37555 ÷ 65536     		x = 0.573043823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28208 ÷ 216
    28208 ÷ 65536     		y = 0.430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.573043823242188 × 2 - 1) × π
    0.146087646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45894788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430419921875 × 2 - 1) × π
    0.13916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.437184524534912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45894788} λ = 0.45894788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437184524534912))-π/2
    2×atan(1.54834175774071)-π/2
    2×0.997342455552322-π/2
    1.99468491110464-1.57079632675     		φ = 0.42388858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45894788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.295777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42388858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.287027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37555 KachelY 28208 0.45894788 0.42388858 26.295777 24.287027
    Oben rechts KachelX + 1 37556 KachelY 28208 0.45904375 0.42388858 26.301269 24.287027
    Unten links KachelX 37555 KachelY + 1 28209 0.45894788 0.42380119 26.295777 24.282020
    Unten rechts KachelX + 1 37556 KachelY + 1 28209 0.45904375 0.42380119 26.301269 24.282020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42388858-0.42380119) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dl = 556.761690000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42388858-0.42380119) × R
    8.73900000000205e-05 × 6371000     		dr = 556.761690000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45894788-0.45904375) × cos(0.42388858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911496431740683 × 6371000     		do = 556.730872905837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45894788-0.45904375) × cos(0.42380119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911532372464509 × 6371000     		du = 556.752825060395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42388858)-sin(0.42380119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911496431740683-0.911532372464509)×R²
    abs(0.45904375-0.45894788)×3.59407238262888e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59407238262888e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59407238262888e-05×40589641000000     		ar = 309972.532930847m²