Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37548 / 27684
↖ ↑ ↗
← N 26.882881°
E 26.257324°		 ← 544.78 m → N 26.882881°
E 26.262817°		 →
↑
544.85 m
↓
↑
544.85 m
↓
N 26.877981°
E 26.257324°		 ← 544.81 m →
296 830 m²		 N 26.877981°
E 26.262817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572944641113281 y=0.422431945800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572944641113281 × 216)
    floor (0.572944641113281 × 65536)
    floor (37548.5)     		tx = 37548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422431945800781 × 216)
    floor (0.422431945800781 × 65536)
    floor (27684.5)     		ty = 27684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37548 / 27684 ti = "16/37548/27684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37548/27684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37548 ÷ 216
    37548 ÷ 65536     		x = 0.57293701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27684 ÷ 216
    27684 ÷ 65536     		y = 0.42242431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57293701171875 × 2 - 1) × π
    0.1458740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45827676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42242431640625 × 2 - 1) × π
    0.1551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.487422395336731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45827676} λ = 0.45827676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487422395336731))-π/2
    2×atan(1.62811417199066)-π/2
    2×1.01999555157744-π/2
    2.03999110315488-1.57079632675     		φ = 0.46919478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45827676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.257324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46919478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.882881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37548 KachelY 27684 0.45827676 0.46919478 26.257324 26.882881
    Oben rechts KachelX + 1 37549 KachelY 27684 0.45837263 0.46919478 26.262817 26.882881
    Unten links KachelX 37548 KachelY + 1 27685 0.45827676 0.46910926 26.257324 26.877981
    Unten rechts KachelX + 1 37549 KachelY + 1 27685 0.45837263 0.46910926 26.262817 26.877981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46919478-0.46910926) × R
    8.55200000000056e-05 × 6371000     		dl = 544.847920000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46919478-0.46910926) × R
    8.55200000000056e-05 × 6371000     		dr = 544.847920000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45827676-0.45837263) × cos(0.46919478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891932672213462 × 6371000     		do = 544.781567851389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45827676-0.45837263) × cos(0.46910926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.891971338378795 × 6371000     		du = 544.805184672288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46919478)-sin(0.46910926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891932672213462-0.891971338378795)×R²
    abs(0.45837263-0.45827676)×3.86661653332121e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86661653332121e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86661653332121e-05×40589641000000     		ar = 296829.538066966m²