Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37544 / 27976
↖ ↑ ↗
← N 25.443274°
E 26.235352°		 ← 551.55 m → N 25.443274°
E 26.240845°		 →
↑
551.54 m
↓
↑
551.54 m
↓
N 25.438314°
E 26.235352°		 ← 551.57 m →
304 206 m²		 N 25.438314°
E 26.240845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572883605957031 y=0.426887512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572883605957031 × 216)
    floor (0.572883605957031 × 65536)
    floor (37544.5)     		tx = 37544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426887512207031 × 216)
    floor (0.426887512207031 × 65536)
    floor (27976.5)     		ty = 27976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37544 / 27976 ti = "16/37544/27976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37544/27976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37544 ÷ 216
    37544 ÷ 65536     		x = 0.5728759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27976 ÷ 216
    27976 ÷ 65536     		y = 0.4268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5728759765625 × 2 - 1) × π
    0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4268798828125 × 2 - 1) × π
    0.146240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.459427245958618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45789327} λ = 0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459427245958618))-π/2
    2×atan(1.58316695999364)-π/2
    2×1.00743262062843-π/2
    2.01486524125686-1.57079632675     		φ = 0.44406891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44406891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.443274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37544 KachelY 27976 0.45789327 0.44406891 26.235352 25.443274
    Oben rechts KachelX + 1 37545 KachelY 27976 0.45798914 0.44406891 26.240845 25.443274
    Unten links KachelX 37544 KachelY + 1 27977 0.45789327 0.44398234 26.235352 25.438314
    Unten rechts KachelX + 1 37545 KachelY + 1 27977 0.45798914 0.44398234 26.240845 25.438314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44406891-0.44398234) × R
    8.6570000000008e-05 × 6371000     		dl = 551.537470000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44406891-0.44398234) × R
    8.6570000000008e-05 × 6371000     		dr = 551.537470000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45789327-0.45798914) × cos(0.44406891) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.903011069116525 × 6371000     		do = 551.548117190986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45789327-0.45798914) × cos(0.44398234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90304825770084 × 6371000     		du = 551.570831523469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44406891)-sin(0.44398234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903011069116525-0.90304825770084)×R²
    abs(0.45798914-0.45789327)×3.71885843151176e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71885843151176e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71885843151176e-05×40589641000000     		ar = 304205.717231564m²