Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37543 / 28012
↖ ↑ ↗
← N 25.264568°
E 26.229858°		 ← 552.42 m → N 25.264568°
E 26.235352°		 →
↑
552.37 m
↓
↑
552.37 m
↓
N 25.259601°
E 26.229858°		 ← 552.44 m →
305 145 m²		 N 25.259601°
E 26.235352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572868347167969 y=0.427436828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572868347167969 × 216)
    floor (0.572868347167969 × 65536)
    floor (37543.5)     		tx = 37543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427436828613281 × 216)
    floor (0.427436828613281 × 65536)
    floor (28012.5)     		ty = 28012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37543 / 28012 ti = "16/37543/28012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37543/28012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37543 ÷ 216
    37543 ÷ 65536     		x = 0.572860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28012 ÷ 216
    28012 ÷ 65536     		y = 0.42742919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572860717773438 × 2 - 1) × π
    0.145721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45779739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    0.1451416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.455975789185974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45779739} λ = 0.45779739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.455975789185974))-π/2
    2×atan(1.57771214660871)-π/2
    2×1.00587311538661-π/2
    2.01174623077321-1.57079632675     		φ = 0.44094990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45779739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.229858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44094990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.264568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37543 KachelY 28012 0.45779739 0.44094990 26.229858 25.264568
    Oben rechts KachelX + 1 37544 KachelY 28012 0.45789327 0.44094990 26.235352 25.264568
    Unten links KachelX 37543 KachelY + 1 28013 0.45779739 0.44086320 26.229858 25.259601
    Unten rechts KachelX + 1 37544 KachelY + 1 28013 0.45789327 0.44086320 26.235352 25.259601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44094990-0.44086320) × R
    8.66999999999951e-05 × 6371000     		dl = 552.365699999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44094990-0.44086320) × R
    8.66999999999951e-05 × 6371000     		dr = 552.365699999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45779739-0.45789327) × cos(0.44094990) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.904346655199733 × 6371000     		do = 552.421492761764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45779739-0.45789327) × cos(0.44086320) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.904383655247725 × 6371000     		du = 552.44409429584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44094990)-sin(0.44086320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904346655199733-0.904383655247725)×R²
    abs(0.45789327-0.45779739)×3.70000479923416e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70000479923416e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70000479923416e-05×40589641000000     		ar = 305144.926891699m²