Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37543 / 28008
↖ ↑ ↗
← N 25.284438°
E 26.229858°		 ← 552.33 m → N 25.284438°
E 26.235352°		 →
↑
552.30 m
↓
↑
552.30 m
↓
N 25.279471°
E 26.229858°		 ← 552.35 m →
305 060 m²		 N 25.279471°
E 26.235352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572868347167969 y=0.427375793457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572868347167969 × 216)
    floor (0.572868347167969 × 65536)
    floor (37543.5)     		tx = 37543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427375793457031 × 216)
    floor (0.427375793457031 × 65536)
    floor (28008.5)     		ty = 28008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37543 / 28008 ti = "16/37543/28008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37543/28008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37543 ÷ 216
    37543 ÷ 65536     		x = 0.572860717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28008 ÷ 216
    28008 ÷ 65536     		y = 0.4273681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572860717773438 × 2 - 1) × π
    0.145721435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.45779739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4273681640625 × 2 - 1) × π
    0.145263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.456359284382935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45779739} λ = 0.45779739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456359284382935))-π/2
    2×atan(1.57831730766988)-π/2
    2×1.00604650749175-π/2
    2.01209301498349-1.57079632675     		φ = 0.44129669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45779739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.229858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44129669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.284438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37543 KachelY 28008 0.45779739 0.44129669 26.229858 25.284438
    Oben rechts KachelX + 1 37544 KachelY 28008 0.45789327 0.44129669 26.235352 25.284438
    Unten links KachelX 37543 KachelY + 1 28009 0.45779739 0.44121000 26.229858 25.279471
    Unten rechts KachelX + 1 37544 KachelY + 1 28009 0.45789327 0.44121000 26.235352 25.279471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44129669-0.44121000) × R
    8.66900000000004e-05 × 6371000     		dl = 552.301990000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44129669-0.44121000) × R
    8.66900000000004e-05 × 6371000     		dr = 552.301990000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45779739-0.45789327) × cos(0.44129669) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.904198591302925 × 6371000     		do = 552.331047711264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45779739-0.45789327) × cos(0.44121000) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.904235614269622 × 6371000     		du = 552.353663245265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44129669)-sin(0.44121000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904198591302925-0.904235614269622)×R²
    abs(0.45789327-0.45779739)×3.70229666974975e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70229666974975e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70229666974975e-05×40589641000000     		ar = 305059.782282828m²