Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37541 / 27812
↖ ↑ ↗
← N 26.254010°
E 26.218872°		 ← 547.84 m → N 26.254010°
E 26.224365°		 →
↑
547.78 m
↓
↑
547.78 m
↓
N 26.249083°
E 26.218872°		 ← 547.86 m →
300 100 m²		 N 26.249083°
E 26.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572837829589844 y=0.424385070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572837829589844 × 216)
    floor (0.572837829589844 × 65536)
    floor (37541.5)     		tx = 37541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424385070800781 × 216)
    floor (0.424385070800781 × 65536)
    floor (27812.5)     		ty = 27812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37541 / 27812 ti = "16/37541/27812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37541/27812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37541 ÷ 216
    37541 ÷ 65536     		x = 0.572830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27812 ÷ 216
    27812 ÷ 65536     		y = 0.42437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572830200195312 × 2 - 1) × π
    0.145660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45760564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42437744140625 × 2 - 1) × π
    0.1512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475150549033997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45760564} λ = 0.45760564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475150549033997))-π/2
    2×atan(1.60825630069361)-π/2
    2×1.01450761894795-π/2
    2.0290152378959-1.57079632675     		φ = 0.45821891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45760564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.218872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45821891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.254010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37541 KachelY 27812 0.45760564 0.45821891 26.218872 26.254010
    Oben rechts KachelX + 1 37542 KachelY 27812 0.45770152 0.45821891 26.224365 26.254010
    Unten links KachelX 37541 KachelY + 1 27813 0.45760564 0.45813293 26.218872 26.249083
    Unten rechts KachelX + 1 37542 KachelY + 1 27813 0.45770152 0.45813293 26.224365 26.249083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45821891-0.45813293) × R
    8.59799999999855e-05 × 6371000     		dl = 547.778579999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45821891-0.45813293) × R
    8.59799999999855e-05 × 6371000     		dr = 547.778579999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45760564-0.45770152) × cos(0.45821891) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896841787376256 × 6371000     		do = 547.83713314459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45760564-0.45770152) × cos(0.45813293) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896879817439203 × 6371000     		du = 547.860363864825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45821891)-sin(0.45813293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896841787376256-0.896879817439203)×R²
    abs(0.45770152-0.45760564)×3.80300629466701e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80300629466701e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80300629466701e-05×40589641000000     		ar = 300099.809695584m²