Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37541 / 27745
↖ ↑ ↗
← N 26.583615°
E 26.218872°		 ← 546.27 m → N 26.583615°
E 26.224365°		 →
↑
546.25 m
↓
↑
546.25 m
↓
N 26.578703°
E 26.218872°		 ← 546.30 m →
298 408 m²		 N 26.578703°
E 26.224365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572837829589844 y=0.423362731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572837829589844 × 216)
    floor (0.572837829589844 × 65536)
    floor (37541.5)     		tx = 37541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423362731933594 × 216)
    floor (0.423362731933594 × 65536)
    floor (27745.5)     		ty = 27745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37541 / 27745 ti = "16/37541/27745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37541/27745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37541 ÷ 216
    37541 ÷ 65536     		x = 0.572830200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27745 ÷ 216
    27745 ÷ 65536     		y = 0.423355102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572830200195312 × 2 - 1) × π
    0.145660400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45760564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423355102539062 × 2 - 1) × π
    0.153289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.481574093583084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45760564} λ = 0.45760564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481574093583084))-π/2
    2×atan(1.61862025772093)-π/2
    2×1.0173839661808-π/2
    2.0347679323616-1.57079632675     		φ = 0.46397161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45760564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.218872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46397161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.583615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37541 KachelY 27745 0.45760564 0.46397161 26.218872 26.583615
    Oben rechts KachelX + 1 37542 KachelY 27745 0.45770152 0.46397161 26.224365 26.583615
    Unten links KachelX 37541 KachelY + 1 27746 0.45760564 0.46388587 26.218872 26.578703
    Unten rechts KachelX + 1 37542 KachelY + 1 27746 0.45770152 0.46388587 26.224365 26.578703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46397161-0.46388587) × R
    8.57400000000008e-05 × 6371000     		dl = 546.249540000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46397161-0.46388587) × R
    8.57400000000008e-05 × 6371000     		dr = 546.249540000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45760564-0.45770152) × cos(0.46397161) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894282246403672 × 6371000     		do = 546.273633753366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45760564-0.45770152) × cos(0.46388587) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.89432061205525 × 6371000     		du = 546.297069468413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46397161)-sin(0.46388587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894282246403672-0.89432061205525)×R²
    abs(0.45770152-0.45760564)×3.83656515776654e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83656515776654e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83656515776654e-05×40589641000000     		ar = 298408.122209003m²