Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3754 / 5221
↖ ↑ ↗
← S 44.245199°
W 15.029297°		 ← 3 500.49 m → S 44.245199°
W 14.985351°		 →
↑
3 499.59 m
↓
↑
3 499.59 m
↓
S 44.276672°
W 15.029297°		 ← 3 498.62 m →
12 247 004 m²		 S 44.276672°
W 14.985351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45831298828125 y=0.63739013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45831298828125 × 213)
    floor (0.45831298828125 × 8192)
    floor (3754.5)     		tx = 3754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63739013671875 × 213)
    floor (0.63739013671875 × 8192)
    floor (5221.5)     		ty = 5221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3754 / 5221 ti = "13/3754/5221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3754/5221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3754 ÷ 213
    3754 ÷ 8192     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5221 ÷ 213
    5221 ÷ 8192     		y = 0.6373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.862864193161011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.862864193161011))-π/2
    2×atan(0.421951798446359)-π/2
    2×0.3992859628984-π/2
    0.7985719257968-1.57079632675     		φ = -0.77222440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77222440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.245199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3754 KachelY 5221 -0.26231071 -0.77222440 -15.029297 -44.245199
    Oben rechts KachelX + 1 3755 KachelY 5221 -0.26154372 -0.77222440 -14.985351 -44.245199
    Unten links KachelX 3754 KachelY + 1 5222 -0.26231071 -0.77277370 -15.029297 -44.276672
    Unten rechts KachelX + 1 3755 KachelY + 1 5222 -0.26154372 -0.77277370 -14.985351 -44.276672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77222440--0.77277370) × R
    0.000549299999999975 × 6371000     		dl = 3499.59029999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77222440--0.77277370) × R
    0.000549299999999975 × 6371000     		dr = 3499.59029999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26154372) × cos(-0.77222440) × R
    0.000766990000000023 × 0.716360411568871 × 6371000     		do = 3500.49034435303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26154372) × cos(-0.77277370) × R
    0.000766990000000023 × 0.715977040185993 × 6371000     		du = 3498.61700266302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77222440)-sin(-0.77277370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.716360411568871-0.715977040185993)×R²
    abs(-0.26154372--0.26231071)×0.000383371382877473×R²
    0.000766990000000023×0.000383371382877473×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383371382877473×40589641000000     		ar = 12247004.3980769m²