Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3754 / 2608
↖ ↑ ↗
← N 54.572062°
W 15.029297°		 ← 2 832.60 m → N 54.572062°
W 14.985351°		 →
↑
2 833.50 m
↓
↑
2 833.50 m
↓
N 54.546580°
W 15.029297°		 ← 2 834.37 m →
8 028 674 m²		 N 54.546580°
W 14.985351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45831298828125 y=0.31842041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45831298828125 × 213)
    floor (0.45831298828125 × 8192)
    floor (3754.5)     		tx = 3754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31842041015625 × 213)
    floor (0.31842041015625 × 8192)
    floor (2608.5)     		ty = 2608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3754 / 2608 ti = "13/3754/2608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3754/2608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3754 ÷ 213
    3754 ÷ 8192     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2608 ÷ 213
    2608 ÷ 8192     		y = 0.318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318359375 × 2 - 1) × π
    0.36328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1412817061543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1412817061543))-π/2
    2×atan(3.13077853282216)-π/2
    2×1.26162924113429-π/2
    2.52325848226858-1.57079632675     		φ = 0.95246216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95246216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.572062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3754 KachelY 2608 -0.26231071 0.95246216 -15.029297 54.572062
    Oben rechts KachelX + 1 3755 KachelY 2608 -0.26154372 0.95246216 -14.985351 54.572062
    Unten links KachelX 3754 KachelY + 1 2609 -0.26231071 0.95201741 -15.029297 54.546580
    Unten rechts KachelX + 1 3755 KachelY + 1 2609 -0.26154372 0.95201741 -14.985351 54.546580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95246216-0.95201741) × R
    0.000444749999999994 × 6371000     		dl = 2833.50224999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95246216-0.95201741) × R
    0.000444749999999994 × 6371000     		dr = 2833.50224999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26154372) × cos(0.95246216) × R
    0.000766990000000023 × 0.579678569220153 × 6371000     		do = 2832.59543885116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26154372) × cos(0.95201741) × R
    0.000766990000000023 × 0.580040914295352 × 6371000     		du = 2834.36603562979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95246216)-sin(0.95201741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579678569220153-0.580040914295352)×R²
    abs(-0.26154372--0.26231071)×0.000362345075198722×R²
    0.000766990000000023×0.000362345075198722×6371000²
    0.000766990000000023×0.000362345075198722×40589641000000     		ar = 8028674.17664159m²