Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37539 / 28138
↖ ↑ ↗
← N 24.637032°
E 26.207886°		 ← 555.19 m → N 24.637032°
E 26.213379°		 →
↑
555.23 m
↓
↑
555.23 m
↓
N 24.632038°
E 26.207886°		 ← 555.21 m →
308 263 m²		 N 24.632038°
E 26.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572807312011719 y=0.429359436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572807312011719 × 216)
    floor (0.572807312011719 × 65536)
    floor (37539.5)     		tx = 37539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429359436035156 × 216)
    floor (0.429359436035156 × 65536)
    floor (28138.5)     		ty = 28138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37539 / 28138 ti = "16/37539/28138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37539/28138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37539 ÷ 216
    37539 ÷ 65536     		x = 0.572799682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28138 ÷ 216
    28138 ÷ 65536     		y = 0.429351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572799682617188 × 2 - 1) × π
    0.145599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45741390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429351806640625 × 2 - 1) × π
    0.14129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.44389569048172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45741390} λ = 0.45741390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.44389569048172))-π/2
    2×atan(1.55876788281459)-π/2
    2×1.00039682090959-π/2
    2.00079364181918-1.57079632675     		φ = 0.42999732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45741390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.207886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42999732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.637032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37539 KachelY 28138 0.45741390 0.42999732 26.207886 24.637032
    Oben rechts KachelX + 1 37540 KachelY 28138 0.45750977 0.42999732 26.213379 24.637032
    Unten links KachelX 37539 KachelY + 1 28139 0.45741390 0.42991017 26.207886 24.632038
    Unten rechts KachelX + 1 37540 KachelY + 1 28139 0.45750977 0.42991017 26.213379 24.632038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42999732-0.42991017) × R
    8.71500000000358e-05 × 6371000     		dl = 555.232650000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42999732-0.42991017) × R
    8.71500000000358e-05 × 6371000     		dr = 555.232650000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45741390-0.45750977) × cos(0.42999732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908966866885371 × 6371000     		do = 555.185845628791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45741390-0.45750977) × cos(0.42991017) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9090031935116 × 6371000     		du = 555.208033487816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42999732)-sin(0.42991017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908966866885371-0.9090031935116)×R²
    abs(0.45750977-0.45741390)×3.63266262284334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63266262284334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63266262284334e-05×40589641000000     		ar = 308263.468218135m²