Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37538 / 28006
↖ ↑ ↗
← N 25.294371°
E 26.202392°		 ← 552.29 m → N 25.294371°
E 26.207886°		 →
↑
552.24 m
↓
↑
552.24 m
↓
N 25.289405°
E 26.202392°		 ← 552.31 m →
305 000 m²		 N 25.289405°
E 26.207886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572792053222656 y=0.427345275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572792053222656 × 216)
    floor (0.572792053222656 × 65536)
    floor (37538.5)     		tx = 37538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427345275878906 × 216)
    floor (0.427345275878906 × 65536)
    floor (28006.5)     		ty = 28006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37538 / 28006 ti = "16/37538/28006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37538/28006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37538 ÷ 216
    37538 ÷ 65536     		x = 0.572784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28006 ÷ 216
    28006 ÷ 65536     		y = 0.427337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572784423828125 × 2 - 1) × π
    0.14556884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.45731802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427337646484375 × 2 - 1) × π
    0.14532470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.456551031981415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45731802} λ = 0.45731802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456551031981415))-π/2
    2×atan(1.57861997524023)-π/2
    2×1.00613319289588-π/2
    2.01226638579177-1.57079632675     		φ = 0.44147006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45731802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.202392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44147006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.294371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37538 KachelY 28006 0.45731802 0.44147006 26.202392 25.294371
    Oben rechts KachelX + 1 37539 KachelY 28006 0.45741390 0.44147006 26.207886 25.294371
    Unten links KachelX 37538 KachelY + 1 28007 0.45731802 0.44138338 26.202392 25.289405
    Unten rechts KachelX + 1 37539 KachelY + 1 28007 0.45741390 0.44138338 26.207886 25.289405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44147006-0.44138338) × R
    8.66800000000056e-05 × 6371000     		dl = 552.238280000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44147006-0.44138338) × R
    8.66800000000056e-05 × 6371000     		dr = 552.238280000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45731802-0.45741390) × cos(0.44147006) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.904124529256918 × 6371000     		do = 552.285806800849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45731802-0.45741390) × cos(0.44138338) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.904161561541034 × 6371000     		du = 552.308428026409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44147006)-sin(0.44138338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.904124529256918-0.904161561541034)×R²
    abs(0.45741390-0.45731802)×3.70322841157789e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70322841157789e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70322841157789e-05×40589641000000     		ar = 304999.610360466m²