Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37537 / 27813
↖ ↑ ↗
← N 26.249083°
E 26.196899°		 ← 547.80 m → N 26.249083°
E 26.202392°		 →
↑
547.84 m
↓
↑
547.84 m
↓
N 26.244156°
E 26.196899°		 ← 547.83 m →
300 116 m²		 N 26.244156°
E 26.202392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572776794433594 y=0.424400329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572776794433594 × 216)
    floor (0.572776794433594 × 65536)
    floor (37537.5)     		tx = 37537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424400329589844 × 216)
    floor (0.424400329589844 × 65536)
    floor (27813.5)     		ty = 27813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37537 / 27813 ti = "16/37537/27813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37537/27813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37537 ÷ 216
    37537 ÷ 65536     		x = 0.572769165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27813 ÷ 216
    27813 ÷ 65536     		y = 0.424392700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572769165039062 × 2 - 1) × π
    0.145538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45722215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424392700195312 × 2 - 1) × π
    0.151214599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.475054675234756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45722215} λ = 0.45722215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475054675234756))-π/2
    2×atan(1.60810211844305)-π/2
    2×1.01446462622164-π/2
    2.02892925244328-1.57079632675     		φ = 0.45813293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45722215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.196899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45813293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.249083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37537 KachelY 27813 0.45722215 0.45813293 26.196899 26.249083
    Oben rechts KachelX + 1 37538 KachelY 27813 0.45731802 0.45813293 26.202392 26.249083
    Unten links KachelX 37537 KachelY + 1 27814 0.45722215 0.45804694 26.196899 26.244156
    Unten rechts KachelX + 1 37538 KachelY + 1 27814 0.45731802 0.45804694 26.202392 26.244156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45813293-0.45804694) × R
    8.59899999999802e-05 × 6371000     		dl = 547.842289999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45813293-0.45804694) × R
    8.59899999999802e-05 × 6371000     		dr = 547.842289999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45722215-0.45731802) × cos(0.45813293) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896879817439203 × 6371000     		do = 547.803223651686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45722215-0.45731802) × cos(0.45804694) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896917845293884 × 6371000     		du = 547.826450600244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45813293)-sin(0.45804694))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896879817439203-0.896917845293884)×R²
    abs(0.45731802-0.45722215)×3.80278546807666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.80278546807666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.80278546807666e-05×40589641000000     		ar = 300116.13505178m²