Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37536 / 27747
↖ ↑ ↗
← N 26.573789°
E 26.191406°		 ← 546.32 m → N 26.573789°
E 26.196899°		 →
↑
546.31 m
↓
↑
546.31 m
↓
N 26.568876°
E 26.191406°		 ← 546.34 m →
298 469 m²		 N 26.568876°
E 26.196899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572761535644531 y=0.423393249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572761535644531 × 216)
    floor (0.572761535644531 × 65536)
    floor (37536.5)     		tx = 37536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423393249511719 × 216)
    floor (0.423393249511719 × 65536)
    floor (27747.5)     		ty = 27747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37536 / 27747 ti = "16/37536/27747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37536/27747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37536 ÷ 216
    37536 ÷ 65536     		x = 0.57275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27747 ÷ 216
    27747 ÷ 65536     		y = 0.423385620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57275390625 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.45712627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423385620117188 × 2 - 1) × π
    0.153228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.481382345984604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45712627} λ = 0.45712627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481382345984604))-π/2
    2×atan(1.61830992092778)-π/2
    2×1.01729822426587-π/2
    2.03459644853174-1.57079632675     		φ = 0.46380012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45712627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46380012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.573789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37536 KachelY 27747 0.45712627 0.46380012 26.191406 26.573789
    Oben rechts KachelX + 1 37537 KachelY 27747 0.45722215 0.46380012 26.196899 26.573789
    Unten links KachelX 37536 KachelY + 1 27748 0.45712627 0.46371437 26.191406 26.568876
    Unten rechts KachelX + 1 37537 KachelY + 1 27748 0.45722215 0.46371437 26.196899 26.568876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46380012-0.46371437) × R
    8.57499999999956e-05 × 6371000     		dl = 546.313249999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46380012-0.46371437) × R
    8.57499999999956e-05 × 6371000     		dr = 546.313249999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45712627-0.45722215) × cos(0.46380012) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894358975605866 × 6371000     		do = 546.320503900085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45712627-0.45722215) × cos(0.46371437) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.894397332580204 × 6371000     		du = 546.343934314628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46380012)-sin(0.46371437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894358975605866-0.894397332580204)×R²
    abs(0.45722215-0.45712627)×3.83569743385159e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.83569743385159e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.83569743385159e-05×40589641000000     		ar = 298468.530383215m²