Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37531 / 28546
↖ ↑ ↗
← N 22.583582°
E 26.163941°		 ← 563.95 m → N 22.583582°
E 26.169434°		 →
↑
563.96 m
↓
↑
563.96 m
↓
N 22.578511°
E 26.163941°		 ← 563.97 m →
318 053 m²		 N 22.578511°
E 26.169434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.572685241699219 y=0.435585021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.572685241699219 × 216)
    floor (0.572685241699219 × 65536)
    floor (37531.5)     		tx = 37531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435585021972656 × 216)
    floor (0.435585021972656 × 65536)
    floor (28546.5)     		ty = 28546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37531 / 28546 ti = "16/37531/28546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37531/28546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37531 ÷ 216
    37531 ÷ 65536     		x = 0.572677612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28546 ÷ 216
    28546 ÷ 65536     		y = 0.435577392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.572677612304688 × 2 - 1) × π
    0.145355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.45664691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.435577392578125 × 2 - 1) × π
    0.12884521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.404779180391754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.45664691} λ = 0.45664691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.404779180391754))-π/2
    2×atan(1.49897146121734)-π/2
    2×0.982477099481784-π/2
    1.96495419896357-1.57079632675     		φ = 0.39415787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.45664691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.163941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39415787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.583582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37531 KachelY 28546 0.45664691 0.39415787 26.163941 22.583582
    Oben rechts KachelX + 1 37532 KachelY 28546 0.45674278 0.39415787 26.169434 22.583582
    Unten links KachelX 37531 KachelY + 1 28547 0.45664691 0.39406935 26.163941 22.578511
    Unten rechts KachelX + 1 37532 KachelY + 1 28547 0.45674278 0.39406935 26.169434 22.578511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39415787-0.39406935) × R
    8.85200000000363e-05 × 6371000     		dl = 563.960920000232m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39415787-0.39406935) × R
    8.85200000000363e-05 × 6371000     		dr = 563.960920000232m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.45664691-0.45674278) × cos(0.39415787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923320295558168 × 6371000     		do = 563.952744319702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.45664691-0.45674278) × cos(0.39406935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.923354286344354 × 6371000     		du = 563.973505476197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39415787)-sin(0.39406935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923320295558168-0.923354286344354)×R²
    abs(0.45674278-0.45664691)×3.39907861865996e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39907861865996e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39907861865996e-05×40589641000000     		ar = 318053.162971304m²