Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3753 / 1926
↖ ↑ ↗
← N 68.560384°
W 15.073242°		 ← 1 786.14 m → N 68.560384°
W 15.029297°		 →
↑
1 786.75 m
↓
↑
1 786.75 m
↓
N 68.544315°
W 15.073242°		 ← 1 787.41 m →
3 192 514 m²		 N 68.544315°
W 15.029297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45819091796875 y=0.23516845703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45819091796875 × 213)
    floor (0.45819091796875 × 8192)
    floor (3753.5)     		tx = 3753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23516845703125 × 213)
    floor (0.23516845703125 × 8192)
    floor (1926.5)     		ty = 1926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3753 / 1926 ti = "13/3753/1926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3753/1926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3753 ÷ 213
    3753 ÷ 8192     		x = 0.4581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1926 ÷ 213
    1926 ÷ 8192     		y = 0.235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.083740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26307771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.235107421875 × 2 - 1) × π
    0.52978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.66436915480835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26307771} λ = -0.26307771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66436915480835))-π/2
    2×atan(5.2823398597436)-π/2
    2×1.38370037927001-π/2
    2.76740075854001-1.57079632675     		φ = 1.19660443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26307771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.073242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19660443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.560384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3753 KachelY 1926 -0.26307771 1.19660443 -15.073242 68.560384
    Oben rechts KachelX + 1 3754 KachelY 1926 -0.26231071 1.19660443 -15.029297 68.560384
    Unten links KachelX 3753 KachelY + 1 1927 -0.26307771 1.19632398 -15.073242 68.544315
    Unten rechts KachelX + 1 3754 KachelY + 1 1927 -0.26231071 1.19632398 -15.029297 68.544315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19660443-1.19632398) × R
    0.000280449999999988 × 6371000     		dl = 1786.74694999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19660443-1.19632398) × R
    0.000280449999999988 × 6371000     		dr = 1786.74694999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26307771--0.26231071) × cos(1.19660443) × R
    0.000767000000000018 × 0.365520463382635 × 6371000     		do = 1786.1365789857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26307771--0.26231071) × cos(1.19632398) × R
    0.000767000000000018 × 0.365781492791342 × 6371000     		du = 1787.41211407002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19660443)-sin(1.19632398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365520463382635-0.365781492791342)×R²
    abs(-0.26231071--0.26307771)×0.000261029408706981×R²
    0.000767000000000018×0.000261029408706981×6371000²
    0.000767000000000018×0.000261029408706981×40589641000000     		ar = 3192513.63492346m²